Limite notevole del coseno su x al quadrato
Questo limite notevole riguarda il comportamento della funzione coseno per valori di \( x \) che tendono a zero. \[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Il limite mostra che, vicino a zero, la funzione \( 1 - \cos x \) si comporta come una quantità proporzionale a \( x^2 \). In particolare, \( 1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2} \) per \( x \) piccolo.
Questo risultato è spesso utilizzato per semplificare espressioni, calcolare limiti più complessi e comprendere meglio il comportamento delle funzioni trigonometriche in un intorno dell’origine.
Dimostrazione
Il limite da calcolare è
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \]
Questa è una forma indeterminata, perché per \( x \to 0 \) si ha una forma indeterminata:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 0}{0^2} = \frac{0}{0} \]
Ora, per risolverlo moltiplico e divido per \( 1 + \cos x \):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \]
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^2(1 + \cos x)} \]
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1 + \cos x)} \]
Sapendo che \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \) dalla prima relazione fondamentale della trigonometria si ha:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} \]
Ora separo i fattori:
\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]
A questo punto applico i limiti notevoli e la sostituzione diretta:
- Questo è il limite notevole del seno e conosco già il risultato
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) - Quest'altro limite si risolve facilmente per sostituzione diretta
\( \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{1}{1 + \cos 0} = \frac{1}{2} \)
Quindi, il limite per $ x \to 0 $ tende a:
\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} = 1^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Pertanto, anche il limite iniziale tende a 1/2
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Come volevasi dimostrare.
Dimostrazione alternativa
Provo a dimostrare questo limite seguendo una strada alternativa.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \]
Il termine \( 1 - cos x \) è una identità trigonometrica \( 1 - \cos x = 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) \)
Sostituisco questa identità nel limite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{x^2} \]
Ora riscrivo \( x^2 \) come \( 4 \left( \frac{x}{2} \right)^2 \):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{4 \left( \frac{x}{2} \right)^2} \]
\[ \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 \]
In questo modo isolo il limite notevole del seno.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}} = 1 \]
Quindi, il limite tende a 1/2
\[ \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \]
Pertanto, anche il limite iniziale tende a 1/2
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Come volevasi dimostrare.
E così via.
