Formule di duplicazione in trigonometria
- In trigonometria le formule di duplicazione sono le seguenti
- La formula di duplicazione del seno$$ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $$
- La formula di duplicazione del coseno $$ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = \begin{cases} 1 - 2 \sin^2 a \\ \\ 2 \cos^2(a)-1 \end{cases} $$
- La formula di duplicazione della tangente $$ \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1- \tan^2 a} $$
Dalla formula di duplicazione del coseno derivano altre due formule
$$ \sin^2 a = \frac{1-\cos 2a}{2} $$
$$ \cos^2 a = \frac{1+\cos 2a}{2} $$
Seguono gli esempi e le dimostrazioni delle formule di duplicazione.
La formula di duplicazione del seno
La formula di duplicazione del seno è $$ \sin 2a = 2 \sin a \cos a $$
Pertanto, il seno del doppio dell'angolo è diverso dal doppio del seno dell'angolo
$$ \sin 2a \ne 2 \sin a $$
Esempio
Il seno di 30° (π/6 rad) è
$$ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $$
Il seno del doppio dell'angolo è il seno di 60°
$$ \sin (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Allo stesso risultato giungo usando la formula di duplicazione del seno di 30°
$$ \sin (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Nota. Calcolando il doppio del seno di 30° ottengo, invece, un risultato del tutto diverso $$ 2 \sin \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$
Dimostrazione
Il seno del doppio di un angolo
$$ \sin 2a $$
lo riscrivo in questa forma equivalente
$$ \sin 2a = \sin (a+a) $$
Poi applico la formula dell'addizione del seno
$$ \sin 2a = \sin (a+a) = \sin a \cos a + \sin a \cos a $$
E ottengo la formula che volevo dimostrare.
$$ \sin 2a = \sin (a+a) = 2 \sin a \cos a $$
La formula di duplicazione del coseno
La formula di duplicazione del coseno è $$ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = \begin{cases} 1 - 2 \sin^2 a \\ \\ 2 \cos^2(a)-1 \end{cases} $$
Pertanto, il coseno del doppio dell'angolo è diverso dal doppio del coseno dell'angolo
$$ \cos 2a \ne 2 \cos a $$
Esempio
Il coseno di 30° (π/6 rad) è
$$ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Il coseno del doppio dell'angolo è il coseno di 60°
$$ \cos (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$
Allo stesso risultato giungo usando la formula di duplicazione del coseno di 30°
$$ \cos (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos^2 \frac{\pi}{6} - \sin^2 \frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - ( \frac{1}{2} )^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
Nota. Calcolando il doppio del coseno di 30° ottengo, invece, un risultato del tutto diverso $$ 2 \cos \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$
Dimostrazione
Il coseno del doppio di un angolo
$$ \cos 2a $$
lo riscrivo in questa forma equivalente
$$ \cos 2a = \cos (a+a) $$
Poi applico la formula dell'addizione del coseno
$$ \cos 2a = \cos (a+a) = \cos a \cos a - \sin a \sin a $$
E ottengo la formula che volevo dimostrare.
$$ \cos 2a = \cos (a+a) = \cos^2 a - \sin^2 a $$
A partire da questa formula dimostro anche le altre.
La componente cos2(a) posso scriverla anche nella forma equivalente (1-sin2 a)
$$ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a $$
$$ \cos 2a = (1 - \sin^2 a) - \sin^2 a $$
$$ \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a $$
Metto in evidenza sin2 a e ottengo
$$ \sin^2 a = \frac{ 1 - \cos 2a }{2} $$
La componente sin2(a) posso scriverla anche nella forma equivalente (1-cos2 a)
$$ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a $$
$$ \cos 2a = \cos^2 a - (1-\cos^2 a) $$
$$ \cos 2a = - 1+ 2 \cos^2 a $$
Metto in evidenza cos2 a e ottengo
$$ \cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} $$
La formula di duplicazione della tangente
La formula di duplicazione della tangente è $$ \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1- \tan^2 a} $$
Pertanto, la tangente del doppio dell'angolo è diversa dal doppio della tangente dell'angolo
$$ \tan 2a \ne 2 \tan a $$
Esempio
La tangente di 30° (π/6 rad) è
$$ \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$
La tangente del doppio dell'angolo è la tangente di 60°
$$ \tan (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $$
Allo stesso risultato giungo usando la formula di duplicazione della tangente di 30°
$$ \tan (2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \frac{2 \cdot \tan \frac{\pi}{6}}{1 - \tan^2 \frac{\pi}{6}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} }{1 - ( \frac{\sqrt{3}}{3} )^2} = $$ $$ = \frac{ \frac{2 \sqrt{3}}{3} }{1 - \frac{3}{9} } = \frac{ \frac{2 \sqrt{3}}{3} }{ \frac{9-3}{9} } = \frac{ \frac{2 \sqrt{3}}{3} }{ \frac{2}{3} } = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \sqrt{3} $$
Nota. Calcolando il doppio della tangente di 30° ottengo, invece, un risultato del tutto diverso $$ 2 \tan \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} $$
Dimostrazione
La tangente del doppio di un angolo
$$ \tan 2a $$
lo riscrivo in questa forma equivalente
$$ \tan 2a = \tan (a+a) $$
Poi applico la formula dell'addizione della tangente
$$ \tan 2a = \tan (a+a) = \frac{\tan a + \tan a}{1- \tan a \tan a} $$
$$ \tan 2a = \frac{2\tan a}{1- \tan^2 a} $$
E così via.
