Il criterio di continuità delle funzioni monotone
Una funzione f(x) monotòna in un intervallo chiuso e limitato [a,b] è anche una funzione continua se e solo se l'immagine della funzione Im(f) comprende ogni valore tra gli estremi f(a) e f(b). $$ Im(f) = \{ f(a), ... , f(b) \} $$
Un esempio pratico
Questa funzione f(x) è monotòna crescente nell'intervallo [-1,1].
$$ f(x) = x^3 \:\:\: \forall x \in [-1,1] $$
Ecco la rappresentazione grafica
L'immagine della funzione f(x) include ogni valore tra gli estremi f(a) e f(b).
Pertanto, la funzione f(x) è continua nell'intervallo [-1,1].
La dimostrazione con spiegazione
La funzione f(x) è monotòna ossia è crescente o decrescente nell'intervallo chiuso [a,b].
Se la funzione è continua
Se la funzione è continua tutti i valori della funzione sono compresi tra f(a) e f(b)
- Se la funzione è crescente $$ f(a) \le f(x) \le f(b) \:\:\: \forall x \in [a,b] $$
- Se la funzione è decrescente $$ f(b) \le f(x) \le f(a) \:\:\: \forall x \in [a,b] $$
In entrambi i casi, secondo il teorema di esistenza dei valori intermedi, la funzione ammette tutti i valori intermedi tra gli estremi f(a) e f(b).
E questo dimostra il criterio di continuità delle funzioni monotòne.
Se la funzione non è continua
Se la funzione f(x) non è continua in un punto x0 dell'intervallo (a,b), si verifica una discontinuità della prima specie in x0.
$$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} = l_1 < l_2 = \lim_{x \rightarrow x_0^-} $$
Nell'intervallo (l1, l2) la funzione f(x) non ha nessun valore.
Quindi, l'immagine non comprende tutti i valori tra f(a) e f(b).
Il che dimostra il teorema.
Nota. Per dimostrare la discontinuità agli estremi, basta considerare x0=a oppure x0 uguale b. In entrambi i casi, indipendentemente dalla monotònia crescente o decrescente, l'immagine della f(x) non comprende tutti i valori tra gli estremi f(a) e f(b).
E così via.
