Il teorema della permanenza del segno del limite di una funzione

Data una funzione f(x) definita e continua in un intorno del punto x₀. Se f(x₀)>0 allora esiste un numero δ>0 tale che f(x)>0 per ogni x nell'intorno (x₀-δ,x₀+δ)

Esempio

Prendo in considerazione la funzione

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

Nel punto x₀=2 la funzione f(x0)=0.5

$$ f(2)=0.5 $$

Considero un intorno di x₀=2 con δ=0.2

$$ (x_0-δ, x_0+δ) $$

$$ (2-0.2, 2+0.2) $$

$$ (1.8, 2.2) $$

Nell'intorno (1.8,2.2) la funzione f(x) è sempre maggiore di zero.

$$ f(1.8) = \frac{1}{1.8} = 0.55 \\ f(2.2) = \frac{1}{2.2} = 0.45 $$

Dal punto di vista grafico

Nota. Per qualsiasi x₀ tale che f(x₀)>0 è sempre possibile trovare un δ>0 che determina un intorno in cui f(x)>0 per ogni x∈(x₀-δ,x₀+δ).

 

La dimostrazione

La funzione è maggiore di zero nel punto x₀

$$ f(x_0)>0 $$

Scelgo un valore ε

$$ ε = \frac{f(x_0)}{2} $$

Per la definizione di limite esiste un valore δ>0 tale che

$$ |f(x)-f(x_0)|<ε $$

ossia

$$ |f(x)-f(x_0)|<\frac{f(x_0)}{2} $$

che equivale a

$$ -\frac{f(x_0)}{2}< f(x)-f(x_0)<\frac{f(x_0)}{2} $$

Sposto f(x₀) nel membro di sinistra

$$ f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2}< f(x)<\frac{f(x_0)}{2} $$

Poiché f(x₀)-f(x₀)/2 è uguale a f(x₀)/2

$$ f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2} = \frac{f(x_0)}{2} $$

Essendo f(x₀)>0 allora anche f(x₀)/2>0 e f(x)-f(x₀)/2>0

$$ 0 < f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2}< f(x)<\frac{f(x_0)}{2} $$

Dimostrazione alternativa

Considero un limite finito $ l \ne 0 $ di una funzione f(x) per x che tende a x₀.

$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$

Secondo la definizione di limite esiste un numero reale positivo $ \epsilon $ tale che

$$ | f(x) - l | < \varepsilon $$

Per la regola del valore assoluto la disequazione equivale a:

$$ l - \varepsilon < f(x) < l + \varepsilon $$

Se assegno $ \varepsilon = | l | $ ottengo

$$ l - | l | < f(x) < l + | l | $$

A questo punto ci sono due possibilità

• Se il limite è positivo ( $ l>0 $ ) allora $$ 0 < f(x) < 2l $$  quindi la funzione è sempre positiva $ f(x) > 0 $ in un intorno $ I $ di $ x_0 $
• Se il limite è negativo ( $ l<0 $ ) allora $$ 2l < f(x) < 0 $$  quindi la funzione è sempre negativa $ f(x)<0 $ in un intorno $ I $ di $ x_0 $

Come volevasi dimostrare.

Teorema inverso

Dimostrazione

Per assurdo suppongo vera la tesi contraria, ossia che la funzione f(x) è positiva o nulla $ f(x) \ge 0 $ in un intorno $ I (x_0) $ e il limite è negativo ( $ l <0 $ ).

In base al teorema della permanenza del segno, se $ l<0 $ allora esiste un intorno $ I'(x_0) $ in cui $ f(x) < 0 $.

Ora considero l’intersezione \( I(x_0) \cap I'(x_0) \), che è ancora un intorno di ( x_0 ). In tale intorno dovrebbero valere contemporaneamente:

\[  (x) \ge 0 \quad \text{e} \quad f(x) < 0 \]

Questo però è impossibile, perché la funzione non può essere contemporaneamente positiva e negativa.

Quindi l’ipotesi \( l < 0 \) è falsa. Di conseguenza il limite è positivo o nullo.

\[ l \ge 0 \]

Come volevasi dimostrare.

Nota Per il secondo punto, si procede allo stesso modo: si assume \( f(x) \le 0 \) in un intorno di \( x_0 \) e si esclude per assurdo la possibilità \( l>0 \), usando ancora la permanenza del segno.

E così via.