Il teorema della permanenza del segno del limite di una funzione

Data una funzione f(x) definita e continua in un intorno del punto x₀. Se f(x₀)>0 allora esiste un numero δ>0 tale che f(x)>0 per ogni x nell'intorno (x₀-δ,x₀+δ)

Esempio

Prendo in considerazione la funzione

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

Nel punto x₀=2 la funzione f(x0)=0.5

$$ f(2)=0.5 $$

Considero un intorno di x₀=2 con δ=0.2

$$ (x_0-δ, x_0+δ) $$

$$ (2-0.2, 2+0.2) $$

$$ (1.8, 2.2) $$

Nell'intorno (1.8,2.2) la funzione f(x) è sempre maggiore di zero.

$$ f(1.8) = \frac{1}{1.8} = 0.55 \\ f(2.2) = \frac{1}{2.2} = 0.45 $$

Dal punto di vista grafico

Nota. Per qualsiasi x₀ tale che f(x₀)>0 è sempre possibile trovare un δ>0 che determina un intorno in cui f(x)>0 per ogni x∈(x₀-δ,x₀+δ).

La dimostrazione

La funzione è maggiore di zero nel punto x₀

$$ f(x_0)>0 $$

Scelgo un valore ε

$$ ε = \frac{f(x_0)}{2} $$

Per la definizione di limite esiste un valore δ>0 tale che

$$ |f(x)-f(x_0)|<ε $$

ossia

$$ |f(x)-f(x_0)|<\frac{f(x_0)}{2} $$

che equivale a

$$ -\frac{f(x_0)}{2}< f(x)-f(x_0)<\frac{f(x_0)}{2} $$

Sposto f(x₀) nel membro di sinistra

$$ f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2}< f(x)<\frac{f(x_0)}{2} $$

Poiché f(x₀)-f(x₀)/2 è uguale a f(x₀)/2

$$ f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2} = \frac{f(x_0)}{2} $$

Essendo f(x₀)>0 allora anche f(x₀)/2>0 e f(x)-f(x₀)/2>0

$$ 0 < f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2}< f(x)<\frac{f(x_0)}{2} $$

E così via.