Il limite della radice n-esima di una funzione
Se \( f(x) \) una funzione ha un limite finito $ l > 0 $ per $ x \to x_0 $ $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$ allora vale il seguente risultato: $$ \lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to x_0} f(x)} = \sqrt[n]{l} $$ Se \( n \) è dispari, il teorema vale anche nel caso \( l \le 0 \).
In altre parole, se il limite della funzione interna esiste, posso portare il limite dentro la radice.
Il limite della radice n-esima non richiede tecniche particolari:
- si calcola prima il limite interno
- si applica poi la radice al risultato
Purché il valore limite appartenga al dominio della radice.
È un risultato importante perché consente di calcolare i limiti con i radicali in modo diretto, senza artifici o trasformazioni complicate.
Perché è necessario richiedere \( l > 0 \)? Se \( n \) è pari, la radice n-esima è definita nei reali solo per argomenti non negativi. Quindi, se \( n \) è pari serve \( l > 0 \). Ad esempio $$ \sqrt{-8} \ \text{ non è reale} $$ Se \( n \) è dispari, invece, la radice è definita anche per numeri reali negativi. Ad esempio $$ \sqrt[3]{-8} = -2 $$
Esempi pratici
Calcolo il seguente limite
$$ \lim_{x \to 4} \sqrt{x} $$
So che il limite è un numero reale finito positivo
$$ \lim_{x \to 4} x = 4 $$
Il limite è positivo e l'indice della radice è pari, quindi posso applicare il teorema:
$$ \lim_{x \to 4} \sqrt{x} = \sqrt{ \lim_{x \to 4} x } = \sqrt{4} = 2 $$
Il calcolo è immediato.
Esempio 2
Calcolo il limite di una radice cubica
$$ \lim_{x \to -8} \sqrt[3]{x} $$
In questo caso il limite è negativo.
$$ \lim_{x \to -8} x = -8 $$
Poiché l'indice della radice è dispari, il teorema funziona anche se il limite è minore-uguale a zero.
Quindi, posso applicare il teorema:
$$ \lim_{x \to -8} \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{ \lim_{x \to -8} x } = \sqrt[3]{-8} = -2 $$
Esempio 3
Calcolo il limite
$$ \lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 + 3} $$
Si tratta di una funzione composta.
Per prima cosa, trovo il limite interno:
$$ \lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 1^2 + 3 = 4 $$
Il limite è positivo e l'indice della radice è pari, quindi posso applicare il teorema.
$$ \lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 + 3} = \sqrt{ \lim_{x \to 1} (x^2 + 3) } = \sqrt{4} = 2 $$
Dimostrazione
Questo teorema deriva dal teorema sul limite della potenza n-esima.
Per dimostrarlo una nuova funzione
$$ g(x) = \sqrt[n]{f(x)} $$
In questo modo posso riscrivere:
$$ f(x) = [ g(x)]^n $$
Sapendo che:
$$ \lim_{x \to x_0 } f(x) = l $$
Sostituisco $ f(x) $
$$ \lim_{x \to x_0} [g(x)]^n = l $$
Poi applico il teorema sul limite della potenza n-esima:
$$ \lim_{x \to x_0} [g(x)]^n = \left[ \lim_{x \to x_0} g(x) \right]^n $$
Quindi
$$ \left[ \lim_{x \to x_0} g(x) \right]^n = l $$
Ora calcolo la radice n-esima di entrambi i membri:
$$ \sqrt[n]{ \left[ \lim_{x \to x_0} g(x) \right]^n } = \sqrt[n]{ l } $$
$$ \lim_{x \to x_0} g(x) = \sqrt[n]{ l } $$
Ricordando che \( g(x) = \sqrt[n]{f(x)} \), ottengo:
$$ \lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{l} $$
Questo conclude la dimostrazione.
E così via.
