Il limite della funzione reciproca
Il limite della funzione reciproca stabilisce come si comporta la funzione $$ g(x) = \frac{1}{f(x)} $$ quando è noto il comportamento della funzione $ f(x) $ in prossimità di un punto \( x_0 \).
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
\textbf{Limite di } f(x) & \textbf{Limite di } \dfrac{1}{f(x)} \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
l \in \mathbb{R},\; l \neq 0 & \dfrac{1}{l} \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
+\infty & 0 \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
-\infty & 0 \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
0^{+} & +\infty \\
\hline
\vphantom{\dfrac{1}{l}}
0^{-} & -\infty \\
\hline
\end{array}
\]
L’idea fondamentale è semplice, il comportamento della funzione reciproca dipende dal valore verso cui tende $ f(x) $, ma soprattutto dal segno e dal fatto che tale valore sia nullo o diverso da zero.
Esistono diversi casi fondamentali:
Limite finito e diverso da zero
Se il limite della funzione $ f(x) $ è finito e diverso da zero $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \in \mathbb{R}, \quad l \neq 0 $$ allora il limite della funzione reciproca $ \frac{1}{f(x)} $ è $ \frac{1}{l} $ $$ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l} $$
In altre parole, se $ f(x) $) si avvicina a un numero reale diverso da zero, allora il reciproco si avvicina semplicemente al reciproco di quel numero.
Esempio
Considero il seguente limite:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{1}{2x + 1} $$
In questo caso la funzione al denominatore è
$$ f(x) = 2x + 1 $$
Calcolo il limite per \( x \to 1 \) della funzione $ f(x) $:
$$ \lim_{x \to 1} (2x+1) = 3 $$
Poiché il limite vale 3 (che è diverso da zero), posso applicare il teorema:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{1}{2x+1} = \frac{1}{3} $$
Il passaggio è diretto.
Il limite è infinito
Se il limite della funzione $ f(x) $ diverge positivamente o negativamente $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \quad \text{oppure} \quad -\infty $$ e se esiste un intorno di $ x_0$ in cui $ f(x) \neq 0 $, allora il limite della funzione reciproca tende a zero $$
\lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = 0 $$
Questo accade perché se un numero cresce senza limite, il suo reciproco diventa sempre più piccolo, avvicinandosi sempre di più allo zero.
$$ \frac{1}{1000} = 0.001 $$
$$ \frac{1}{1,000,000} = 0.000001 $$
$$ \vdots $$
Più il denominatore cresce, più il reciproco si avvicina a zero.
Esempio
Considero il limite della funzione
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} $$
La funzione al denominatore è
$$ f(x) = x^2 $$
Il limite della funzione $ f(x) $ per $ x \to \infty $ è infinito
$$ \lim_{x \to \infty} x^2 = + \infty $$
Quindi, il limite della funzione reciproca tende a zero.
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0 $$
Il comportamento è coerente con il teorema.
Il limite tende a zero
Se il limite della funzione $ f(x) $ tende a zero $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0^+ \quad \text{oppure} \quad 0^- $$ il limite della funzione reciproca diverge positivamente o negativamente a seconda della direzione di avvicinamento allo zero.
- Se il limite è lo zero positivo (avvicinamento da destra) $$ \lim_{x \to a} f(x) = 0^+ $$ allora il limite della funzione reciproca per $ x \to x_0 $ è più infinito. $$ \lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = +\infty $$
- Se il limite è lo zero negativo (avvicinamento da sinistra) $$ \lim_{x \to a} f(x) = 0^- $$ allora il limite della funzione reciproca per $ x \to x_0 $ è meno infinito. $$ \lim_{x \to a} \frac{1}{f(x)} = - \infty $$
In altre parole, quando il denominatore diventa piccolissimo, il valore assoluto del reciproco esplode. Il segno è decisivo perché la funzione reciproca conserva il segno.
Ad esempio, se il limite si avvina allo zero positivo $ 0^+ $ (ossia da destra), il reciproco diverge positivamente.
$$ \frac{1}{0.1} = 10 $$
$$ \frac{1}{0.001} = 1000 $$
$$ \vdots $$
Se il limite si avvina allo zero negativo $ 0^- $ (ossia da sinistra), il reciproco diverge negativamente.
$$ \frac{1}{-0.1} = -10 $$
$$ \frac{1}{-0.001} = -1000 $$
$$ \vdots $$
Esempio
Considero il limite della funzione
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} $$
La funzione al denominatore è
$$ f(x) = x^3 $$
Calcolo il limite della funzione $ f(x) $ per $ x \to 0^+$, ossia mi avvino allo zero da destra.
$$ \lim_{x \to 0^+} x^3 = 0^+ $$
In questo caso, il risultato è lo zero positivo, perché nell'intorno destro dello zero ci sono sono valori positivi.
Pertanto, il limite della funzione reciproca diverge positivamente.
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = + \infty $$
Esempio 2
Considero il limite della funzione
$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x} $$
In questo caso la funzione al denominatore è
$$ f(x) = 1-x $$
Calcolo il limite della $ f(x) $ per $ x \to 1^+ $
$$ \lim_{x \to 1^+} 1-x = 0^- $$
In questo caso il limite tende allo zero negativo, ossia si avvicina allo zero da sinistra.
Quindi, secondo il teorema, il limite della funzione reciproca diverge negativamente.
$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x} = - \infty $$
E così via.
