Infiniti di ordine crescente
Le successioni che tendono a infinito per n→∞ possono essere ordinate tramite il teorema del rapporto e sono dette infiniti di ordine crescente.
Cos'è un infinito di ordine crescente
Un infinito di ordine crescente si avvicina all'infinito più velocemente rispetto ad altre successioni divergenti prese come confronto.
Un esempio pratico
Ho due successioni con k>0.
$$ n^k $$
$$ k^n $$
Entrambe le successioni hanno tutti i termini positivi e tendono a infinito per n→∞
$$ \lim_{ n \rightarrow ∞} n^k = ∞ $$
$$ \lim_{ n \rightarrow ∞} k^n = ∞ $$
Quale delle due successioni si avvicina a infinito più velocemente?
Per rispondere a questa domanda definisco una successione an composta dal rapporto delle due successioni
$$ a_n = \frac{ n^k }{ k^n } $$
Poi definisco una successione bn con il rapporto tra due termini successivi qualsiasi della successione an
$$ b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n} $$
$$ b_n = \frac{ \frac{ (n+1)^k }{ k^(n+1) } }{ \frac{ n^k }{ k^n } } $$
$$ b_n = \frac{ (n+1)^k }{ k^(n+1) } \cdot\frac{ k^n }{ n^k } $$
$$ b_n = \frac{ (n+1)^k }{ k(n^k) } $$
$$ b_n = \frac{1}{k} \cdot \frac{ (n+1)^k }{ n^k } $$
$$ b_n = \frac{1}{k} \cdot ( \frac{ n+1 }{ n } )^k $$
Ora calcolo il limite per n→∞ della successione bn
$$ \lim_{ n \rightarrow ∞} b_n $$
$$ \lim_{ n \rightarrow ∞} \frac{1}{k} \cdot ( \frac{ n+1 }{ n } )^k $$
Il rapporto (n+1/n) tende a zero per n→∞.
Quindi la successione bn tende a zero ossia è minore di 1.
$$ \lim_{ n \rightarrow ∞} \frac{1}{k} \cdot ( \frac{ n+1 }{ n } )^k = 0 < 1 $$
Poiché il limite di bn minore di 1, secondo il teorema del rapporto la successione an è infinitesima.
$$ \lim_{ n \rightarrow ∞} a_n = \lim_{ n \rightarrow ∞} \frac{ n^k }{ k^n } = 0 $$
Questo vuol dire che la successione al denominatore kn è un infinito di ordine crescente rispetto a nk.
In effetti, la rappresentazione grafica delle due successioni lo conferma.
La successione kn si avvicina a infinito più velocemente rispetto alla successione nk.
E così via.
