Il limite della potenza

Se una funzione ha limite finito $$ \lim_{x \to a} f(x) = l $$ allora anche la sua potenza intera positiva ha limite, ed è la potenza del limite $$ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right)^n = l^n $$ Dove l'esponente $ n $ è un numero naturale non nullo $ n \in \mathbb{N} - {0} $.

In altre parole, il limite della potenza è la potenza del limite.

Il teorema del limite della potenza è una conseguenza diretta del teorema sul prodotto.

L’idea centrale è semplice, se la funzione tende a un valore, allora anche la sua potenza tende alla potenza di quel valore.

Un esempio pratico

Considero la funzione

$$ f(x) = 2x - 1 $$

Voglio calcolare il limite

$$ \lim_{x \to 3} [f(x)]^4 $$

Calcolo prima il limite della funzione

$$ \lim_{x \to 3} (2x-1) $$

In questo caso posso sostituire direttamente $ x=3 $ ottenendo $ 2\cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5 $. Quindi, il limite è:

$$ \lim_{x \to 3} (2x-1) = 5 $$

Poi applico il teorema della potenza

$$ \lim_{x \to 3} [f(x)]^4 = (\lim_{x \to 3} (2x-1) )^4 = 5^4 = 625 $$

In questo modo ho ottenuto il risultato finale senza fare lunghi calcolo.

Esempio 2

Considero la funzione

$$ f(x)=\frac{x+1}{x-2} $$

Devo calcolare il limite

$$ \lim_{x \to 4} \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^3 $$

Per prima cosa calcolo il limite della funzione. Sostituisco $ x= 4 $ e ottengo $ \frac{4+1}{4-2}=\frac{5}{2} $. Quindi, il limite della funzione è

$$ \lim_{x \to 4} \frac{x+1}{x-2} = \frac{5}{2} $$

A questo punto applico il teorema ed elevo il risultato al cubo.

$$ \lim_{x \to 4} \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^3 =  \left( \lim_{x \to 4} ( \frac{x+1}{x-2} ) \right)^3 = \left(\frac{5}{2}\right)^3=\frac{125}{8} $$

Quindi, il limite è

$$ \lim_{x \to 4} \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^3=\frac{125}{8} $$

Anche in questo caso il teorema mi ha evitato lunghi calcoli.

Dimostrazione

La dimostrazione si basa su un’idea semplice.

La potenza n-esima di una funzione è il prodotto della funzione per sé stessa n volte:

$$ [f(x)]^n = f(x) \cdot f(x) \cdot \dots \cdot f(x) $$

Se il limite di $ f(x) $ esiste, allora posso applicare il teorema del limite del prodotto:

$$ \lim (f(x)\cdot g(x)) = \lim f(x) \cdot \lim g(x) $$

Ripetendo questa proprietà n volte ottengo:

$$ \lim [f(x)]^n = (\lim f(x))^n $$

L’idea chiave è quindi questa: la potenza è un prodotto ripetuto.

Il teorema della potenza vale anche se il limite è infinito?

Se il limite vale $ +\infty $ o $ -\infty $ il teorema della potenza è applicabile, ma occorre distinguere i casi.

• Se il limite della funzione diverge positivamente $$ \lim_{x \to a} f(x) = +\infty $$ allora anche il limite della potenza diverge positivamente $$ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = (+\infty)^n $$ Poiché una quantità positiva crescente, elevata a potenza, resta positiva e cresce ancora, ossia $ +\infty)^n = +\infty $ per qualunque $ n $ naturale positivo.

  Ad esempio, considero il limite $$ \lim_{x \to +\infty} x^5  $$ Il limite della funzione $ f(x)=x $ diverge positivamente. $$ \lim_{x \to +\infty} x = +\infty $$ Quindi, anche il limite della potenza $ [f(x)]^5 = x^5 $ divergente positivamente. $$ \lim_{x \to +\infty} x^5 = +\infty $$

• Se il limite della funzione diverge negativamente $$ \lim_{x \to a} f(x) = -\infty $$ il risultato dipende se l'esponente è pari o dispari. $$ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = \begin{cases} +\infty & \text{se } n \text{ è pari} \\ \\ -\infty & \text{se } n \text{ è dispari} \end{cases} $$ Perché una potenza pari rende positivo il risultato, mentre una potenza dispari conserva il segno.

  Ad esempio, considero il limite $$ \lim_{x \to -\infty} x^2 $$ In questo caso il limite della funzione $  f(x)=x $ diverge negativamente. $$ \lim_{x \to -\infty} x = - \infty $$ Tuttavia, la potenza ha esponente pari e il quadrato elimina il segno negativo. Quindi, il limite della potenza $ [f(x)]^2=x^2 $ diverge positivamente. $$ \lim_{x \to -\infty} x^2 = +\infty $$ Viceversa, se avesse avuto un esponente dispari, ad esempio una potenza elevata al cubo, anche il limite della potenza sarebbe stato divergente negativamente. $$ \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty $$

Il teorema della potenza vale se l'esponente è una funzione?

Il teorema della potenza si applica direttamente quando l’esponente è costante. Se invece l’esponente è una funzione, la regola non è automaticamente valida.

 

In questi casi il passaggio al limite è lecito solo se non compare una forma indeterminata, come $ 0^0 $ , $ 1^\infty $, $ \infty^0 $..

Quando si presenta una di queste situazioni, il limite non può essere calcolato per semplice sostituzione. E' necessario usare altre tecniche di risoluzione.

Esempio

Considero il limite

$$ \lim_{x \to 2} (x+1)^{3x} $$

Calcolo i limiti separatamente:

$$ \lim_{x \to 2}  (x+1) = 3 $$

$$ \lim_{x \to 2}  (3x) = 6 $$

In questo caso, il teorema vale ancora perché $ 3^6 $ è una forma determinata.

$$ \lim (x+1)^{3x} = 3^6 = 729 $$

Qui tutto funziona perché non ci sono forme indeterminate.

Esempio 2

Considero il limite

$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x $$

Calcolo i limiti separatamente

$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right) = 1 $$

$$ \lim_{x \to +\infty} x  = \infty $$

Il risultato è una forma indeterminata $ 1^\infty $.

$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = 1^ \infty $$

Di conseguenza, in questo caso il teorema della potenza non può essere applicato meccanicamente.

Nota. Se applicassi ingenuamente la regola direi $ 1^\infty = 1 $. Questa conclusione è però errata, perché il limite corretto è: $$ \lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e $$ Questo è infatti un limite notevole, cioè un limite il cui risultato è noto perché già dimostrato.

E così via.