Il limite del coseno
Il limite del coseno di una successione che tende a zero converge a uno. $$ \lim_{a_n \rightarrow 0} \cos a_n = 1 $$
Dimostrazione
La successione an converge a 0 per n tendente a infinito
$$ \lim_{a_n \rightarrow ∞} a_n = 0 $$
Per la definizione di limite esiste un numero indice v tale che
$$ -π/2 \le a_n \le π/2 \:\:\: \forall n>v $$
Nota. Ho scelto il valore π/2 perché è 90°. Il coseno a ±90° è uguale a zero.
Pertanto, per ogni n>v la successione ha un valore minore di π/2 (90°).
Utilizzo la relazione trigonometrica tra coseno e seno.
$$ \cos a_n = ± \sqrt{1- \sin^2 a_n} $$
Poiché per n>v la successione an è minore di π/2, allora il seno è sempre minore di uno.
$$ 0 < \sin^2 a_n < 1 $$
Nota. Il seno a ±90° è uguale a 1.
Quindi la differenza (1-sin2 an) è positiva per n>v.
Di conseguenza il coseno di an è maggiore di zero.
$$ \cos a_n = ± \sqrt{1- \sin^2 a_n} \ge 0 $$
Poiché il limite tende a zero, la differenza (1-sin2 an) tende a uno per n>v.
Quindi, il coseno è uguale a 1.
$$ \lim_{a_n \rightarrow 0} \sqrt{1- \sin^2 a_n} = \sqrt{1} = 1 $$
E così via.
