Il limite notevole del seno
Questo limite notevole afferma che, quando x tende a zero, il rapporto tra $ \sin x $ e $ x $ si avvicina sempre più al valore 1. $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x }{x} = 1 $$
Dimostrazione
Questo limite è una forma indeterminata del tipo $ \frac{0}{0} $ perché per $ x \to 0 $ sia il numeratore $ \sin x \to 0 $ che il denominatore $ x \to 0 $ tendono a zero.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x }{x} = \frac{0}{0} $$
Devo dimostrare, invece, che il limite tende a 1.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x }{x} = 1 $$
Per farlo, devo considerare sia il limite destro e sinistro per $ x \to 0 $, ossia sia l'avvicinamento $ x \to 0^+ $ che $ x \to 0^- $.
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ \sin x }{x} = 1 $$
Tuttavia, in questo caso la funzione $ \frac{\sin x}{x} $ è una funzione pari perché:
$$ \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin -x}{-x} = \frac{- \sin x}{-x} $$
Pertanto, il grafico è simmetrico rispetto all'asse y per $ x \to 0 $
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} $$
Questo vuol dire che basta dimostrare uno dei due casi per dimostrare interamente il limite notevole. Ad esempio, considero il caso $ x \to 0^+ $
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} $$
Dove $ x $ è l'angolo in radianti.
Guardando il grafico, l'angolo in radianti $ x $ coincide con l'arco di circonferenza $ \widehat{ AP } $ che ha una lunghezza compresa tra i segmenti $ \overline{ BP } = \sin x $ e $ \overline{ AC } = \tan x $.
$$ \overline{BP} < \widehat{ AP } < \overline{AC} $$
ovvero
$$ \sin x < x < \tan x $$
Divido ogni membro della disequazione per $ \sin(x) $
$$ \frac{ \sin x }{ \sin x } < \frac{ x }{ \sin x } < \frac{ \tan x }{ \sin x } $$
$$ 1 < \frac{ x }{ \sin x } < \frac{ \tan x }{ \sin x } $$
Passo ai reciproci della diseguaglianza
$$ \frac{ \sin x }{ \tan x } < \frac{ \sin x }{ x } < 1 $$
Per la seconda relazione fondamentale della trigonometria vale $ \tan x = \frac{ \sin x }{ \cos x } $, quindi sostituisco $ \frac{\sin x }{ \tan x} = \cos x $
$$ \cos x < \frac{ \sin x }{ x } < 1 $$
A questo punto applico il teorema del confronto, calcolando il limite per $ x \to 0^+ $ in ogni membro della disequazione.
$$ \lim_{x \to 0^+} \cos x < \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{ x } < \lim_{x \to 0^+} 1 $$
Entrambi i limiti agli estremi tendono a 1.
$$ \underbrace{ \lim_{x \to 0^+} \cos x }_{1} < \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{ x } < \underbrace{ \lim_{x \to 0^+} 1 }_{1} $$
$$ 1 < \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{ x } < 1 $$
Pertanto, deduco che anche il limite nel mezzo tende a 1.
$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{ x } = 1 $$
Come volevasi dimostrare.
E così via.
