Il limite destro e sinistro di una funzione

Il limite di una funzione per x che tende a x₀ può essere calcolato da destra (x→x₀⁺) quando ci si avvicina a x₀ con valori x→x₀ ed è detto limite destro $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) $$ o da sinistra (x→x₀^-) quando ci si avvicina a x₀ con valori x<x₀ ed è detto limite sinistro $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) $$

Il limite destro o sinistro può essere un numero finito, infinito.

In alcuni punti della funzione potrebbe anche non esistere un limite destro o sinistro.

Esempio. La funzione del logaritmo f(x)=log(x) è definita soltanto nell'insieme dei numeri reali positivi x∈(0,+∞). Quindi, il limite per x tendente a 0 esiste solo da destra ossia x→0⁺. Non esiste il limite sinistro per x tendente a zero.

Il limite destro della funzione

La definizione di limite destro di una funzione

Il limite destro della funzione f(x) per x→x₀⁺ è uguale a l se per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |f(x)-l|<ε per ogni x₀<x<x₀+δ $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = l $$

In simboli

$$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = l \Leftrightarrow \forall ε>0, \exists δ>0: |f(x)-l)|<ε, \forall x \in (x_0, x_0+δ) $$

Nota. Il limite destro può essere spiegato anche sostituendo la funzione con una successione estratta x_n con x_n che tende a x₀ tale che f(x_n) tende a l per ogni n di N.

Esempio

La funzione f(x) =1/x non è definita in x=0

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

Calcolo il limite per x→0+ da destra senza mai raggiungere x=0.

$$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} $$

Il limite destro esiste ed è uguale a +∞

$$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = +∞ $$

Ecco la rappresentazione grafica

Il limite sinistro della funzione

La definizione di limite sinistro di una funzione

Il limite sinistro della funzione f(x) per x->x₀^- è uguale a l se per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |f(x)-l|<ε per ogni x₀-δ<x<x₀ $$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = l $$

In simboli

$$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = l \Leftrightarrow \forall ε>0, \exists δ>0: |f(x)-l)|<ε, \forall x \in (x_0-δ, x_0) $$

Nota. Il limite sinistro può essere spiegato anche sostituendo la funzione con una successione estratta x_n con x_n che tende a x₀ tale che f(x_n) tende a l per ogni n di N.

Esempio

La funzione f(x) =1/x non è definita in x=0

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

Calcolo il limite per x→0^- da sinistra senza mai raggiungere x=0.

$$ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} $$

Il limite sinistro esiste ed è uguale a -∞

$$ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} = -∞ $$

Nota. In questo caso il limite tende a meno infinito perché la x si avvicina a x=0 da sinistra. Quindi i valori della variabile x sono sempre negativi. Ad esempio, x=-0.3, x=-0.1, x=-0.01, ecc.

Ecco la rappresentazione sul diagramma cartesiano)

\[ |(4x-4)-4|<\varepsilon \]

Un esempio pratico

Considero questa funzione definita per tratti

\[
f(x)=
\begin{cases}
x^2 & \text{se } x<2 \\ \\
4x-4 & \text{se } x\ge 2
\end{cases}
\]

Limite destro

Voglo verificare se esiste il limite destro

\[ \lim_{x\to 2^+} f(x)=4 \]

Poiché sto facendo il limite destro \( x \to 2^+ \), considero valori \( x>2 \).

Quindi, vicino a 2 da destra vale il secondo ramo.

\[ f(x)=4x-4 \]

Per dire che \( f(x) \) tende a 4 per \( x\to 2^+ \), quando \( x \) è sufficientemente vicino a 2 da destra, devo ottenere che per ogni \( \varepsilon>0 \) risulti:

\[ |f(x)-4|<\varepsilon \]

Sostituisco \( f(x)=4x-4 \).

\[ |(4x-4)-4|<\varepsilon \]

Semplifico l’espressione dentro il valore assoluto svolgendo i calcoli algebrici.

\[ | 4x-4 -4|<\varepsilon \]

Quindi la disequazione diventa:

\[ |4x-8|<\varepsilon \]

Elimino il valore assoluto, ricordando che:

\[ |A|<\varepsilon \quad \Longleftrightarrow \quad -\varepsilon<A<\varepsilon \]

In questo caso \( A=4x-8 \), quindi:

\[ -\varepsilon<4x-8<\varepsilon \] \( x^2-4=(x-2)(x+2) \)

Per ricavare la $ x $ sommo 8 a tutti i membri.

\[ 8-\varepsilon<4x - 8 +8 <8+\varepsilon \]

\[ 8-\varepsilon<4x<8+\varepsilon \]

Poi divido tutto per 4.

\[ 2-\frac{\varepsilon}{4}<x<2+\frac{\varepsilon}{4} \]

A me serve un intorno destro di 2, quindi scelgo solo la parte con \( x>2 \).

\[ 2<x<2+\frac{\varepsilon}{4} \]

Questo è proprio un intorno destro di 2.

Per scriverlo in forma \( \delta \), basta porre \( \delta=\frac{\varepsilon}{4} \) e allora

\[ 2<x<2+\frac{\varepsilon}{4} \]

\[ 2 - 2<x - 2<2-2+\frac{\varepsilon}{4} \]

\[ 0 <x - 2< \frac{\varepsilon}{4} \]

\[ 0<x-2<\delta \quad \Longrightarrow \quad |f(x)-4|<\varepsilon \]

Poiché per ogni \( \varepsilon>0 \) basta prendere \( \delta=\varepsilon/4 \) e imporre \( 2<x<2+\delta \), ottengo

\[ \lim_{x\to 2^+} f(x)=4 \]

Limite sinistro

Considero la stessa funzione

\[
f(x)=
\begin{cases}
x^2 & \text{se } x<2 \\ \\
4x-4 & \text{se } x\ge 2
\end{cases}
\]

Voglio verificare il limite sinistro

\[ \lim_{x\to 2^-} f(x)=4 \]

Poiché \( x\to 2^- \), considero valori \( x<2 \).

Quindi, vicino a 2 da sinistra vale il primo ramo:

\[ f(x)=x^2 \]

Dire che \( f(x) \) tende a 4 per \( x\to 2^- \) significa imporre che per ogni \( \varepsilon>0 \) vale

\[ |f(x)-4|<\varepsilon \]

quando \( x \) è abbastanza vicino a 2 da sinistra.

Sostituisco \( f(x)=x^2 \).

\[ |x^2-4|<\varepsilon \]

Si tratta di una differenza di quadrati, quindi:

\[ |x^2-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\cdot|x+2| \]

La condizione diventa

\[ |x-2|\cdot|x+2|<\varepsilon \]

Considero il fattore \( |x+2| \) e scelgo un intorno di \( x \) che sia abbastanza vicino a 2, ad esempio:

\[  1<x<2 \]

Sommo 2 a tutti i membri della disequazione

\[  1+2<x+2<2+2 \]

\[ 3<x+2<4 \]

Quindi $ x+2 $ è minore di 4

\[ |x+2|<4 \]

Uso la stima per ottenere una condizione anche su \(|x-2| \)

Se \(|x+2|<4 \), allora

\[ |x-2|\cdot|x+2|<|x-2|\cdot 4 \]

In questo modo è sufficiente imporre

\[ 4|x-2|<\varepsilon \]

Da cui

\[ |x-2|<\frac{\varepsilon}{4} \]

Per essere davvero “da sinistra”, devo avere \(x<2\).

Sapendo che \(|x-2|<\varepsilon/4 \) equivale a

\[ -\frac{\varepsilon}{4}<x - 2 < \frac{\varepsilon}{4} \]

Sommo 2 a tutti i membri per ricavare la $ x $

\[ 2 -\frac{\varepsilon}{4}<x - 2 + 2 < 2 + \frac{\varepsilon}{4} \]

\[ 2-\frac{\varepsilon}{4}<x<2+\frac{\varepsilon}{4} \]

Poiché ho imposto la condizione \( 1<x<2 \) segue che $ x $ deve essere minore di 2.

Interseco la disequazione con la condizione \( x<2 \) e semplificare $ 2+\frac{\varepsilon}{4} $ sostituendola con 2

\[ 2-\frac{\varepsilon}{4}<x<2 \]

In questo modo ottengo un intorno sinistro di 2.

Segue che se $ x $ è abbastanza vicino a 2 da sinistra, allora $ x^2 $ è abbastanza vicino a 4.

\[ \lim_{x\to 2^-} f(x)=4 \]

Pertanto, il limite sinistro risulta uguale a 4

E così via.