Il limite destro e sinistro di una funzione
Il limite di una funzione per x che tende a x0 può essere calcolato da destra (x→x0+) quando ci si avvicina a x0 con valori x→x0 ed è detto limite destro $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) $$ o da sinistra (x→x0-) quando ci si avvicina a x0 con valori x<x0 ed è detto limite sinistro $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) $$
Il limite destro o sinistro può essere un numero finito, infinito.
In alcuni punti della funzione potrebbe anche non esistere un limite destro o sinistro.
Esempio. La funzione del logaritmo f(x)=log(x) è definita soltanto nell'insieme dei numeri reali positivi x∈(0,+∞). Quindi, il limite per x tendente a 0 esiste solo da destra ossia x→0+. Non esiste il limite sinistro per x tendente a zero.
Il limite destro della funzione
La definizione di limite destro di una funzione
Il limite destro della funzione f(x) per x→x0+ è uguale a l se per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |f(x)-l|<ε per ogni x0<x<x0+δ $$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = l $$
In simboli
$$ \lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = l \Leftrightarrow \forall ε>0, \exists δ>0: |f(x)-l)|<ε, \forall x \in (x_0, x_0+δ) $$
Nota. Il limite destro può essere spiegato anche sostituendo la funzione con una successione estratta xn con xn che tende a x0 tale che f(xn) tende a l per ogni n di N.
Esempio
La funzione f(x) =1/x non è definita in x=0
$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
Calcolo il limite per x→0+ da destra senza mai raggiungere x=0.
$$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} $$
Il limite destro esiste ed è uguale a +∞
$$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = +∞ $$
Ecco la rappresentazione grafica
Il limite sinistro della funzione
La definizione di limite sinistro di una funzione
Il limite sinistro della funzione f(x) per x->x0- è uguale a l se per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |f(x)-l|<ε per ogni x0-δ<x<x0 $$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = l $$
In simboli
$$ \lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = l \Leftrightarrow \forall ε>0, \exists δ>0: |f(x)-l)|<ε, \forall x \in (x_0-δ, x_0) $$
Nota. Il limite sinistro può essere spiegato anche sostituendo la funzione con una successione estratta xn con xn che tende a x0 tale che f(xn) tende a l per ogni n di N.
Esempio
La funzione f(x) =1/x non è definita in x=0
$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
Calcolo il limite per x→0- da sinistra senza mai raggiungere x=0.
$$ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} $$
Il limite sinistro esiste ed è uguale a -∞
$$ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x} = -∞ $$
Nota. In questo caso il limite tende a meno infinito perché la x si avvicina a x=0 da sinistra. Quindi i valori della variabile x sono sempre negativi. Ad esempio, x=-0.3, x=-0.1, x=-0.01, ecc.
Ecco la rappresentazione sul diagramma cartesiano
E così via.
