Limite del seno

Il limite del seno della successione an che tende a zero è uguale a zero. $$\lim_{a_n \rightarrow 0} \sin a_n = 0$$

Dimostrazione

Per l'ipotesi iniziale la successione a_n converge a zero.

$$\lim_{a_n \rightarrow ∞} a_n = 0$$

Esempio. La successione $$a_n = \frac{1}{n}$$ converge a zero per n tendente a infinito.

Per la definizione di limite esiste un indice v tale che |a_n|<l per ogni n>v.

Sapendo che in trigonometria vale la diseguaglianza 0<sin x<x allora

$$0 \le | \sin a_n | = \sin |a_n | \le |a_n|$$

Mettendo tutto sotto limite per n tendente a infinito

$$\lim_{n \rightarrow ∞} 0 \le \lim_{n \rightarrow ∞} | \sin a_n | = \lim_{n \rightarrow ∞} \sin |a_n | \le \lim_{n \rightarrow ∞} |a_n|$$

Sapendo che la successione a_n converge a zero

$$0 \le \lim_{n \rightarrow ∞} | \sin a_n | = \lim_{n \rightarrow ∞} \sin |a_n | \le 0$$

Pertanto, per il teorema del confronto (teorema dei carabinieri) anche i limiti intermedi convergono a zero

$$\lim_{n \rightarrow ∞} | \sin a_n | = \lim_{n \rightarrow ∞} \sin |a_n | = 0$$

Se la successione a_n tende a zero per n→∞, il seno di a_n che tende a zero converge a zero.

$$\lim_{a_n \rightarrow 0} \sin a_n = \sin 0 = 0$$

E così via.