Limite del seno
Il limite del seno della successione an che tende a zero è uguale a zero. $$ \lim_{a_n \rightarrow 0} \sin a_n = 0 $$
Dimostrazione
Per l'ipotesi iniziale la successione an converge a zero.
$$ \lim_{a_n \rightarrow ∞} a_n = 0 $$
Esempio. La successione $$ a_n = \frac{1}{n} $$ converge a zero per n tendente a infinito.
Per la definizione di limite esiste un indice v tale che |an|<l per ogni n>v.
Sapendo che in trigonometria vale la diseguaglianza 0<sin x<x allora
$$ 0 \le | \sin a_n | = \sin |a_n | \le |a_n| $$
Mettendo tutto sotto limite per n tendente a infinito
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} 0 \le \lim_{n \rightarrow ∞} | \sin a_n | = \lim_{n \rightarrow ∞} \sin |a_n | \le \lim_{n \rightarrow ∞} |a_n| $$
Sapendo che la successione an converge a zero
$$ 0 \le \lim_{n \rightarrow ∞} | \sin a_n | = \lim_{n \rightarrow ∞} \sin |a_n | \le 0 $$
Pertanto, per il teorema del confronto (teorema dei carabinieri) anche i limiti intermedi convergono a zero
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} | \sin a_n | = \lim_{n \rightarrow ∞} \sin |a_n | = 0 $$
Se la successione an tende a zero per n→∞, il seno di an che tende a zero converge a zero.
$$ \lim_{a_n \rightarrow 0} \sin a_n = \sin 0 = 0 $$
E così via.
