Il limite del quoziente di due funzioni
Se due funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) hanno limite finito in un punto $ x_0 $ $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$ $$ \lim_{x \to x_0} g(x) = m $$ allora il limite del loro rapporto è il rapporto dei limiti $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} = \frac{l}{m} $$ purché il limite della funzione al denominatore non è nullo \( m \ne 0 \)
In altre parole, il teorema afferma che il passaggio al limite rispetta la divisione, ma solo quando il denominatore non tende a zero.
La condizione \( m \neq 0 \) è essenziale perché se il limite del denominatore fosse zero, il rapporto potrebbe non avere limite finito oppure potrebbe generare una forma indeterminata.
Nota. Il punto critico è sempre lo stesso: in matematica la divisione per zero non è ammessa. Questo apre la strada allo studio delle forme indeterminate ( come $ \frac{0}{0} $, $ \frac{\infty}{\infty} $, ecc. ) che richiedono strumenti più raffinati per essere risolte.
Esempio pratico
Devo calcolare il limite
$$ \lim_{x \to x_0} \frac{2x+1}{x+3} $$
Considero le funzioni al numeratore e al denominatore:
$$ f(x) = 2x + 1 $$
$$ g(x) = x + 3 $$
Calcolo il limite per \( x \to 1 \) di entrambe le funzioni.
$$ \lim_{x \to 1} f(x) = 2(1) + 1 = 3 $$
$$ \lim_{x \to 1} g(x) = 1 + 3 = 4 $$
Poiché il limite del denominatore è \( 4 \neq 0 \), posso applicare il teorema:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{2x+1}{x+3} = \frac{3}{4} $$
Il risultato coincide con il valore della funzione nel punto, perché entrambe sono funzioni polinomiali e quindi continue.
Nota. Perché la condizione \( m \neq 0 \) è necessaria? Per spiegarlo considero ora un caso diverso: $$ \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x-2} $$ Il rapporto $ \frac{x-2}{x-2}=1 $ è costante per ogni valore reale. Quindi, anche il limite del rapporto per $ x \to 2 $ è uguale a 1 $$ \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x-2} = 1 $$ In questo caso, il limite per $ x \to 2 $ della funzione al denominatore è 0 $$ \lim_{x \to 2} (x-2) = 0 $$ Se applicassi meccanicamente la regola del limite del rapporto, otterrei un risultato diverso, ossia \( 0/0 \) che è una forma indeterminata: $$ \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x-2} = \frac{ \lim_{x \to 2} (x-2) }{ \lim_{x \to 2} (x-2) } = \frac{0}{0} $$ Questo esempio mostra che la condizione sul denominatore non è un dettaglio tecnico ma una necessità matematica.
Dimostrazione
Osservo che il quoziente può essere scritto come prodotto:
$$ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} $$
Se il limite della funzione g(x) è diverso da zero
$$ \lim_{x \to x_0} g(x) = m \neq 0 $$
allora, per il teorema del limite della funzione reciproca vale:
$$ \lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{m} $$
A questo punto applico il teorema del limite del prodotto:
$$ \lim_{x \to x_0} \left( f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = \left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right)\cdot\left(\lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x)}\right) $$
Sostituendo i limiti noti ottengo:
$$ l \cdot \frac{1}{m} = \frac{l}{m} $$
Questo conclude la dimostrazione.
E così via.
