Il teorema del confronto nei limiti delle funzioni
Siano \( h(x) \), \( f(x) \) e \( g(x) \) tre funzioni definite nello stesso dominio, escluso al più un punto \( x_0 \). Se, per ogni \( x \neq x_0 \), vale $$ h(x) \le f(x) \le g(x) $$ e se $$ \lim_{x \to x_0} h(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell $$ allora anche $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell $$
Il teorema del confronto permette di determinare il limite di una funzione usando altre due funzioni che la “schiacciano”.
Se una funzione \( f(x) \) è compresa tra due funzioni che tendono allo stesso limite, allora \( f(x) \) tende a quel medesimo limite.
In altre parole, \( f(x) \) non può “sfuggire” perché è vincolata superiormente e inferiormente.
Nota. L'idea intuitiva è che le funzioni \( h(x) \) e \( g(x) \) si avvicinano entrambe al valore \( \ell \). Poiché \( f(x) \) resta sempre tra di queste, è costretta a sua volta ad avvicinarsi allo stesso valore.
Quando si usa?
Il teorema del confronto è utile quando il limite di \( f(x) \) è difficile da calcolare direttamente ma è facile trovare due funzioni che la maggiorano e minorano e che hanno limite noto
Un esempio pratico
Considero una generica funzione \( f(x) \) che in un intorno di $ x_0 $ ha le immagini comprese tra altre due funzioni $ h(x) = -x^2 $ e $ g(x) = x^2 $
$$ -x^2 \le f(x) \le x^2 $$
Inoltre, il limite delle funzioni $ h(x) $ e $ g(x) $ è sempre lo stesso, ad esempio è zero.
$$ \lim_{x \to 0} (-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0 $$
Per il teorema del confronto, anche la funzione f(x) tende a zero.
$$ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $$
Anche senza conoscere la forma esplicita di \( f(x) \).
Nota. Il teorema del confronto vale anche per i limiti con $ x \to + \infty $ o $ x \to - \infty $. Non occorre che il limite delle funzioni di confronto sia un numero finito.
Esempio 2
Considero la funzione
$ f(x) = x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) $ per $ x \neq 0 $
Voglio calcolare il limite per $ x \to 0 $
$$ \lim_{x \to 0} f(x) $$
Osservando la funzione, capisco subito che per ogni \( x \) il valore della funzione $ \sin() $ è compreso tra -1 e 1.
$$ -1 \le \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le 1 $$
Moltiplico ogni membro della disequazione per \( x^2 \).
Poiché \( x^2 \ge 0 \), il verso delle disuguaglianze non cambia:
$$ -x^2 \le x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le x^2 $$
Calcolo i limiti delle funzioni
$$ \lim_{x \to 0} -x^2 \le \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le \lim_{x \to 0} x^2 $$
Le funzioni di confronto hanno un limite che si risolve facilmente, entrambe tendono a zero.
$$ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0} x^2 = 0 $$
Sostituisco i valori dei limiti agli estremi e ottengo.
$$ \lim_{x \to 0} -x^2 = 0 \le \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le \lim_{x \to 0} x^2 = 0 $$
$$ 0 \le \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \le 0 $$
Poiché \( f(x)= x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) \) è compresa tra due funzioni che tendono allo stesso limite, per il teorema del confronto deduco che tende a zero
$$ \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) = 0 $$
Quindi, anche se \( \sin(1/x) \) oscilla senza limite, il fattore \( x^2 \) “schiaccia” l’oscillazione e anche la funzione di mezzo tende a zero.
La dimostrazione
Considero un numero reale $ \varepsilon > 0 $ arbitrario e una generica funzione $ f(x) $.
Per ipotesi, ci sono due funzioni $ h(x) $ e $ g(x) $ tali che:
$$ h(x) \le f(x) \le g(x) $$
Inoltre, per ipotesi le due funzioni h(x) $ e $ g(x) tendono allo stesso limite $ \ell $
$$ \lim_{x \to x_0} h(x) = \ell $$
$$ \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell $$
Per la definizione di limite, esiste un intorno $ I_1 $ di $ x_0 $ tale che, per ogni $ x \in I_1 $ con al più $ x \neq x_0 $ vale:
$$ |h(x) - \ell| < \varepsilon $$
In base alla regola del modulo di una disequazione, posso riscriverla in questa forma equivalente:
$$ \ell - \varepsilon < h(x) < \ell + \varepsilon $$
Analogamente, esiste un intorno $ I_2 $ di $ x_0 $ tale che, per ogni $ x \in I_2 $, con al più $ x \neq x_0 $, vale:
$$ |g(x) - \ell| < \varepsilon $$
cioè
$$ \ell - \varepsilon < g(x) < \ell + \varepsilon $$
L'intersezione degli intorni $ I_1 \cap I_2 $ è a sua volta un intorno di $ x_0 $
$$I = I_1 \cap I_2 $$
Quindi, per ogni $ x \in I $, con $ x \neq x_0 $, valgono entrambe le disuguaglianze:
$$ \begin{cases} \ell - \varepsilon < h(x) < \ell + \varepsilon \\ \\ \ell - \varepsilon < g(x) < \ell + \varepsilon \end{cases} $$
Sapendo che $ h(x) \le f(x) \le g(x) $, combinando con le stime precedenti, ottengo:
$$ \ell - \varepsilon < h(x) \le f(x) \le g(x) < \ell + \varepsilon $$
Quindi
$$ \ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon $$
In forma equivalente diventa:
$$ |f(x) - \ell| < \varepsilon $$
Ho dimostrato che, per ogni $ \varepsilon > 0 $, esiste un intorno $ I $ di $ x_0 $ tale che $ |f(x) - \ell| < \varepsilon $ per ogni $ x \in I $ con $ x \neq x_0 $
Pertanto, il limite della funzione è:
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell $$
Come volevasi dimostrare.
E così via.
