Limiti di funzioni composte
Il limite di una funzione composta f(g(x)) per x che tende a x0 è uguale a l $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(g(x)) = l $$ se $$ \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = y_0 $$ $$ \lim_{y \rightarrow y_0} f(y) = l $$ e se esiste un δ>0 tale che $$ g(x) \ne \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) \:\:\: \forall x \ne x0 \in (x_0-δ, x_0+δ ) $$
Quindi per calcolare il limite di una funzione composta per x→x0 si procede in due passaggi:
$$ \lim_{x \to x_0} f(g(x)) $$
Per prima cosa, calcolo il limite della funzione interna g(x) per x→x0
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = y_0 $$
Poi calcolo il limite della funzione esterna f(y) per y che tende a y0
$$ \lim_{y \rightarrow y_0} f(y) = l $$
Se questo secondo limite esiste, allora anche la funzione composta f(g(x)) per x→x0 tende a l
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(g(x)) = l $$
Caso particolare. Se la funzione interna \( g(x) \) è continua in \( x_0 \) e la funzione esterna \( f(z) \) è continua in \( z_0 = g(x_0) \), allora anche la funzione composta \( f(g(x)) \) è continua in \( x_0 \). In questi casi, per calcolare il limite della funzione composta è suffiicente applicare l'immagine della funzione interna nella funzione esterna: \[ \lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(g(x_0)) \] Questo significa che la continuità si conserva nella composizione delle funzioni.
Un esempio pratico
Ho la funzione f(x)
$$ f(x) = \log \frac{1}{x} $$
Si tratta di una funzione composta del tipo f(g(x)) con
$$ y = g(x) = \frac{1}{x} $$
$$ f(y) = \log y $$
Per calcolare il limite della funzione composta
$$ \lim_{x \rightarrow ∞} \log \frac{1}{x} $$
posso scorporare il limite in due limiti.
Calcolo il limite della g(x) per x che tende a infinito
$$ y_0 = \lim_{x \rightarrow ∞} g(x) = \lim_{x \rightarrow ∞} \frac{1}{x} = 0 $$
Poi calcolo il limite della f(y) per y che tende a y0=0
$$ l = \lim_{y \rightarrow 0} f(y) = \lim_{y \rightarrow 0} \log y = -∞ $$
Il limite della funzione composta per x che tende a infinito è l=-∞.
Esempio 2
Considero la funzione composta
$$ f(g(x)) = \sin(4x) $$
In questo caso la funzione interna è
$$ z = g(x) = 4x $$
mentre la funzione esterna è
$$ f(z) = \sin z $$
Entrambe sono continue nell'insieme dei numeri reali \( \mathbb{R} \).
Devo calcolare il limite della funzione composta per $ x \to \frac{\pi}{4} $
$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \sin(4x) $$
Per prima cosa, calcolo il limite interno
$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} 4x = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi $$
Poiché il seno è continuo in $ \pi $, applico direttamente il risultato alla la funzione esterna
$$ \sin(\pi) = 0 $$
Quindi, il risultato del limite della funzione composta
$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \sin(4x) = 0 $$
Esempio 2
Voglio calcolare il limite della funzione composta
$$ \lim_{x \to 2} \sqrt{x^2+1} $$
In questo caso la funzione interna è
$$ z = g(x) = x^2 + 1 $$
La funzione esterna è
$$ f(z) = \sqrt{z} $$
Come primo passo, calcolo il limite interno per $ x \to 2 $
$$ \lim_{x \to 2} (x^2+1) = 4 + 1 = 5 $$
Poiché la funzione esterna $ f(z)= \sqrt{z} $ è continua in $ z=5 $, quindi posso sostituire direttamente $ z $ nella $ f(z) $
$$ f(5) = \sqrt{5} $$
Quindi. il limite della funzione composta è:
$$ \lim_{x \to 2} \sqrt{x^2+1} = \sqrt{5} $$
La dimostrazione
Prendo in considerazione la funzione f(g(x)) che converge a l nel punto x0
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(g(x)) = l $$
Considero una successione estratta xn dal dominio della funzione f(g(x)) che converge a x0.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x_0 $$
Secondo la definizione di limite di una successione, per x che tende a x0 il limite è uguale a l se esiste un valore v tale che
$$ |x_n-x_0|<δ \:\:\: \forall n>v $$
Quindi, la successione estratta xn non contiene il termine x0.
A partire dalla successione xn calcolo una seconda successione yn tramite la funzione g(y)
$$ y_n = g(x_n) $$
Poiché la successione non contiene x0, per ogni n>v la funzione yn=g(xn) è diversa da g(x0)
$$ y_n \ne g(x_0) $$
Quindi, essendo y0=g(x0)
$$ y_n \ne y_0 \:\:\: \forall n>v $$
A sua volta il limite della successione yn tende a l
$$ lim_{n \rightarrow y_0} y_n = l $$
E così via.
