Il limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima
Date due successioni an e bn, se an è una successione limitata e bn è una successione infinitesima (che converge a zero) allora anche il limite della successione del prodotto an·bn converge a zero. $$ \lim_{n \rightarrow ∞ } a_n \cdot b_n = 0 $$
Un esempio pratico
Ho due successioni
$$ a_n = \frac{n+1}{n} $$
$$ b_n = \frac{1}{n} $$
La prima successione (an) è limitata mentre la seconda successione (bn) è infinitesima.
$$ \lim_{n \rightarrow ∞ } a_n = \lim_{n \rightarrow ∞ } \frac{n+1}{n}= 1 $$
$$ \lim_{n \rightarrow ∞ } b_n = \lim_{n \rightarrow ∞ } \frac{1}{n} = 0 $$
Nota. Una successione è limitata se esiste un valore M>0 tale che an<M per ogni n>0. Una successione bn è detta infinitesima se converge a zero per n tendente a infinito.
Anche il limite del prodotto delle successioni an·bn converge a zero.
$$ \lim_{n \rightarrow ∞ } a_n \cdot b_n = 1 \cdot 0 = 0 $$
Faccio una verifica.
Calcolo il prodotto delle successioni an·bn e poi il limite
$$ \lim_{n \rightarrow ∞ } a_n \cdot b_n $$
$$ \lim_{n \rightarrow ∞ } \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{n} $$
$$ \lim_{n \rightarrow ∞ } \frac{n+1}{n^2} = \frac{\infty}{\infty} $$
Il limite è una forma indeterminata ∞/∞.
Quindi, per trovare la soluzione posso applicare il teorema di L'Hopital
$$ \lim_{n \rightarrow ∞ } \frac{D[n+1]}{D[n^2]} $$
$$ \lim_{n \rightarrow ∞ } \frac{1}{2n} = 0 $$
Il limite del prodotto delle successioni an·bn è uguale a zero.
Quindi, la successione an·bn converge a zero per n→∞.
La dimostrazione e spiegazione
Prendo in considerazione una successione limitata an e una successione infinitesimale bn
Essendo an una successione limitata, esiste un numero M>0 tale che
$$ | a_n | \le M $$
Moltiplico la disequazione per la successione bn
$$ | a_n | \cdot |b_n| \le M \cdot |b_n| $$
con qualche passaggio algebrico diventa
$$ -M \cdot |b_n| \le a_n \cdot b_n \le M \cdot |b_n| $$
La successione bn è infinitesima, quindi converge a zero.
$$ -M \cdot |0| \le a_n \cdot b_n \le M \cdot 0 $$
Per il teorema dei due carabinieri anche la successione an·bn deve convergere a zero.
E così via.
