Come risolvere i limiti indefiniti con la formula di Taylor
A volte la formula di Taylor è utile per risolvere i limiti indefiniti.
Un esempio pratico
Questo limite è una forma indeterminata del tipo ∞-∞.
$$ \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \sin x} ) = \infty - \infty $$
Per risolverlo sostituisco la funzione seno con il polinomio di Taylor di grado n=1 (il più semplice) e centro x0=0 che la approssima
$$ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) $$
Prima di procedere calcolo la differenza per avere un unico rapporto con la funzione seno al numeratore e al denominatore.
$$ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \sin x} = $$
$$ \frac{x \sin x - x^2}{x^2 \cdot (x \sin x)} = $$
$$ \frac{x ( \sin x - x ) }{x^3 \sin x} = $$
$$ \frac{ \sin x - x }{x^2 \sin x} $$
Poi sostituisco il seno con il polinomio sin(x)=x-x3/6+o(x4)
$$ \frac{ [ x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) ] - x }{x^2 [ x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) ] } = $$
$$ \frac{ - \frac{x^3}{6} + o(x^4) }{x^3 - \frac{x^5}{6} + o(x^6) } = $$
Ora per semplificare divido tutto per x3
$$ \frac{ - \frac{x^3}{6x^3} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{\frac{x^3}{x^3} - \frac{x^5}{6x^3} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$
$$ \frac{ - \frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 - \frac{x^{5-3}}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$
$$ \frac{ - \frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$
A questo punto provo a calcolare il limite in questa forma equivalente
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ - \frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$
Riscrivo il limite del rapporto nella forma equivalente di rapporto di limiti
$$ \frac{ \lim_{x \rightarrow 0} - \frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{ \lim_{x \rightarrow 0} 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$
Le costanti escono dai limiti
$$ \frac{ - \frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 + \lim_{x \rightarrow 0} - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$
Riscrivo il limite della somma al denominatore come somma dei limiti. E' una forma equivalente.
$$ \frac{ - \frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 - \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$
Ora risolvo i limiti separatamente.
Per x→0 il limite di x2/6 è zero.
$$ \frac{ - \frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$
Per eliminare gli o piccoli faccio in modo che nel rapporto compaia lo stesso argomento dell'o piccolo.
$$ \frac{ - \frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} x \frac{o(x^4)}{x^4} }{ 1 + x^3 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^6)}{x^6} } = $$
Poiché o(x4) è un infinitesimo di ordine superiore di x4, il limite del rapporto o(x4)/x3 è uguale a zero per x→0.
$$ \frac{ - \frac{1}{6} }{ 1 + x^3 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^6)}{x^6} } = $$
Ripeto lo stesso ragionamento anche al denominatore.
Poiché o(x6) è un infinitesimo di ordine superiore di x6, il limite del rapporto o(x6)/x6 è uguale a zero per x→0.
$$ \frac{ - \frac{1}{6} }{ 1 } = $$
$$ - \frac{1}{6} $$
Pertanto, il limite è uguale a -1/6.
In questo modo ho trovato la soluzione del limite usando la formula di Taylor.
E così via