Come risolvere i limiti indefiniti con la formula di Taylor

A volte la formula di Taylor è utile per risolvere i limiti indefiniti.

    Un esempio pratico

    Questo limite è una forma indeterminata del tipo ∞-∞.

    $$ \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \sin x} ) = \infty - \infty $$

    Per risolverlo sostituisco la funzione seno con il polinomio di Taylor di grado n=1 (il più semplice) e centro x0=0 che la approssima

    $$ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) $$

    Prima di procedere calcolo la differenza per avere un unico rapporto con la funzione seno al numeratore e al denominatore.

    $$ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \sin x} = $$

    $$ \frac{x \sin x - x^2}{x^2 \cdot (x \sin x)} = $$

    $$ \frac{x ( \sin x - x ) }{x^3 \sin x} = $$

    $$ \frac{ \sin x - x }{x^2 \sin x} $$

    Poi sostituisco il seno con il polinomio sin(x)=x-x3/6+o(x4)

    $$ \frac{ [ x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) ] - x }{x^2 [ x - \frac{x^3}{6} + o(x^4) ] } = $$

    $$ \frac{ - \frac{x^3}{6} + o(x^4) }{x^3 - \frac{x^5}{6} + o(x^6) } = $$

    Ora per semplificare divido tutto per x3

    $$ \frac{ - \frac{x^3}{6x^3} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{\frac{x^3}{x^3} - \frac{x^5}{6x^3} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$

    $$ \frac{ - \frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 - \frac{x^{5-3}}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$

    $$ \frac{ - \frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$

    A questo punto provo a calcolare il limite in questa forma equivalente

    $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ - \frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$

    Riscrivo il limite del rapporto nella forma equivalente di rapporto di limiti

    $$ \frac{ \lim_{x \rightarrow 0} - \frac{1}{6} + \frac{o(x^4)}{x^3} }{ \lim_{x \rightarrow 0} 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$

    Le costanti escono dai limiti

    $$ \frac{ - \frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 + \lim_{x \rightarrow 0} - \frac{x^2}{6} + \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$

    Riscrivo il limite della somma al denominatore come somma dei limiti. E' una forma equivalente.

    $$ \frac{ - \frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 - \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$

    Ora risolvo i limiti separatamente.

    Per x→0 il limite di x2/6 è zero.

    $$ \frac{ - \frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^4)}{x^3} }{ 1 + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^6)}{x^3} } = $$

    Per eliminare gli o piccoli faccio in modo che nel rapporto compaia lo stesso argomento dell'o piccolo.

    $$ \frac{ - \frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} x \frac{o(x^4)}{x^4} }{ 1 + x^3 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^6)}{x^6} } = $$

    Poiché o(x4) è un infinitesimo di ordine superiore di x4, il limite del rapporto o(x4)/x3 è uguale a zero per x→0.

    $$ \frac{ - \frac{1}{6} }{ 1 + x^3 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^6)}{x^6} } = $$

    Ripeto lo stesso ragionamento anche al denominatore.

    Poiché o(x6) è un infinitesimo di ordine superiore di x6, il limite del rapporto o(x6)/x6 è uguale a zero per x→0.

    $$ \frac{ - \frac{1}{6} }{ 1 } = $$

    $$ - \frac{1}{6} $$

    Pertanto, il limite è uguale a -1/6.

    In questo modo ho trovato la soluzione del limite usando la formula di Taylor.

    E così via

     


     

    Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

    FacebookTwitterLinkedinLinkedin
    knowledge base

    I limiti

    I limiti delle successioni

    I limiti delle funzioni

    Esercizi