Teorema di unicità del limite
Se la funzione \( f(x) \) ammette un limite reale \( l \) per \( x \to x_0 \), allora questo limite è unico.
Dimostrazione
Per dimostrarlo seguo una dimostrazione per assurdo in cui ipotizzo che la tesi opposta sia vera, ossia che il limite non sia unico $ x \to x_0 $.
Considero per ipotesi che esistano due limiti $ l_1 $ e $ l_2 $ diversi tra loro \( l_1 \neq l_2 \).
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \]
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \]
Essendo diversi posso scegliere arbitariamente quale è il numero reale maggiore.
$$ l_2 > l_1 $$
Poi seguendo la definizione di limite scelgo un numero positivo \( \epsilon \) arbitario. Potendo scegliere qualsiasi numero scelgo un numero minore di \( \frac{l_2 - l_1}{2} \):
\[ \varepsilon < \frac{l_2 - l_1}{2} \]
Sapendo che \( \lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \), dalla definizione di limite deduco che esiste un intorno \( I \) di \( x_0 \) tale che:
\[ |f(x) - l_1 | < \varepsilon \quad \forall x \in I \]
Allo stesso modo, sapendo che \( \lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \) deduco che esiste un intorno \( I' \) di \( x_0 \) tale che
\[ |f(x) - l_2| < \varepsilon \quad \forall x \in I' \]
L’intersezione di due intorni dello stesso punto è ancora un intorno di quel punto.
Quindi, l’intersezione \( I \cap I' \) è ancora un intorno di \( x_0 \).
Questo vuole dire che per ogni punto dell'intorno \( x \in I \cap I' \) sono soddisfatte entrambe le condizioni
\[ \begin{cases} |f(x) - l_1| < \varepsilon \\ \\ |f(x) - l_2| < \varepsilon \end{cases} \]
Riscrivo le due condizioni in una forma equivalente senza il modulo
\[ \begin{cases} l_1 - \varepsilon < f(x) < l_1 + \varepsilon \\ \\ l_2 - \varepsilon < f(x) < l_2 + \varepsilon \end{cases} \]
Spiegazione. Il modulo $ | f(x) - l_1 | < \varepsilon $ equivale a dire che la differenza tra i due termini deve essere inferiore a $ \varepsilon $ e questo implica che $$ \begin{cases} f(x)-l_1 < \varepsilon \\ l_1 - f(x) < \varepsilon \end{cases} $$ Sposto $ l_1 $ al secondo membro in entrambe le disequazioni. $$ \begin{cases} f(x) < l_1 + \varepsilon \\ - f(x) < \varepsilon -l_1 \end{cases} $$ Moltiplico per -1 entrambi i membri della seconda disequazione e cambio il verso della disequazione $$ \begin{cases} f(x) < l_1 + \varepsilon \\ f(x) > l_1 - \varepsilon \end{cases} $$ Questo vuol dire che $$ l_1 - \varepsilon < f(x) < l_1 + \varepsilon $$
A questo punto confronto le due disequazioni del sistema.
\[ \begin{cases} l_1 - \varepsilon < f(x) < l_1 + \varepsilon \\ \\ l_2 - \varepsilon < f(x) < l_2 + \varepsilon \end{cases} \]
Dalla prima disequazione ricavo $ f(x) < l_1 + \varepsilon $ e dalla seconda disequazione $ f(x) > l_2 - \varepsilon $, quindi posso scrivere:
\[ l_2 - \varepsilon < f(x) < l_1 + \varepsilon \]
Da cui segue che
\[ l_2 - \varepsilon < l_1 + \varepsilon \]
Da quest'ultima ricavo $ \varepsilon $
\[ - \varepsilon - \varepsilon < l_1 - l_2 \]
\[ - 2\varepsilon < l_1 - l_2 \]
Moltiplico entrambe le parti per -1 e cambio il verso della disequazione
\[ - 2\varepsilon \cdot (-1) > ( l_1 - l_2 ) \cdot (-1) \]
\[ 2 \varepsilon > l_2 - l_1 \]
Divido entrambe le parti per 2
\[ \varepsilon > \frac{ l_2 - l_1 }{2} \]
Ma questo contraddice la scelta iniziale \( \varepsilon < \dfrac{l_2 - l_1}{2} \).
Pertanto, l’ipotesi \( l_1 \neq l_2 \) è falsa.
Quindi, deve essere $ l_1 = l_2 $. Questo vuol dire che il limite di $ f(x) $ per $ x \to x_0 $ è unico $ l $
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \]
Come volevasi dimostrare.
E così via.
