Limite sinistro
Una funzione f(x) definita in un intervallo (a,c) ha il limite sinistro per x che tende a c da sinistra, $$ \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = l $$ se fissato un ε>0 esiste un δ>0 tale che se $$ c-δ<x<c \text{ allora } |f(x)-l|<ε $$
Nel limite sinistro la definizione di limite è soddisfatta nell'intervallo aperto di numeri (c-δ,c) inferiori a c.
Nota. Quando si calcola il limite sinistro di una funzione in un punto c, non si calcola il limite nell'intervallo di numeri superiori di c ( limite destro ), né per il punto c stesso. Potrebbero esistere oppure no.
Un esempio pratico
Prendo la funzione f(x)=x2 e il punto c=3
Il limite sinistro della funzione è
$$ \lim_{x \rightarrow 3^-} f(x) = 9 $$
Verifica
Come prima cosa, fisso un valore arbitrario ε=5 maggiore di zero.
$$ l - ε = 9 - 5 = 4 $$
che mi permette di individuare un valore δ=1 maggiore di zero e un intervallo
$$ (c-δ,c) = (3-1, 3) = (2,3 ) $$
Per ogni valore x compreso nell'intervallo aperto (2,3) sull'asse delle ascisse x, la differenza assoluta tra il valore della funzione f(x) e il limite sinistro l è inferiore di ε.
Quindi, il limite sinistro della funzione f(x) nel punto c è 9.
Limite infinito sinistro per x che tende a x₀
Limite sinistro +∞
Data una funzione f(x) definita in un intorno sinistro di $ x_0 $ (ma non necessariamente in $ x_0 $), si dice che f(x) tende a +∞ per x che tende a $ x_0 $ da sinistra e si scrive: \[ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty \] quando per ogni numero reale positivo $ M > 0 $ si può determinare un intorno sinistro $ I^-(x_0) $ tale che risulti: \[ f(x) > M \] per ogni $ x $ appartenente a $ I^-(x_0) $. \[ \forall \ M > 0 \ \exists \ I^-(x_0) \ | \ f(x) > M,\ \forall \ x \in I^-(x_0) \]
In questo caso si dice anche che la funzione f diverge positivamente a sinistra di $ x_0 $.
Ad esempio, considero la funzione
\[ f(x) = \frac{1}{1 - x} \]
Studio il limite per $ x $ che tende a 1 da sinistra.
Per $ x < 1 $ si ha $ 1 - x > 0 $ e $ 1 - x \to 0^+ $. Di conseguenza, f(x) assume valori positivi sempre più grandi.
Si ha quindi:
\[ \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{1 - x} = +\infty \]
La funzione diverge positivamente a sinistra di 1.
Limite sinistro -∞
Si dice che f(x) tende a -∞ per x che tende a x₀ da sinistra e si scrive: \[ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty \] quando per ogni numero reale positivo $ M > 0 $ si può determinare un intorno sinistro $ I^-(x_0) $ tale che risulti: \[ f(x) < -M \] per ogni $ x $ appartenente a $ I^-(x_0) $. \[ \forall \ M > 0 \ \exists \ I^-(x_0) \ | \ f(x) < -M,\ \forall \ x \in I^-(x_0) \]
In questo caso si dice anche che la funzione f diverge negativamente a sinistra di x₀.
Ad esempio, considero la funzione
\[ f(x) = \frac{1}{x - 2} \]
Voglio studiare il limite per x che tende a 2 da sinistra.
Per $ x < 2 $ il denominatore è negativo e tende a zero. Di conseguenza, f(x) assume valori negativi con valore assoluto sempre più grande.
Si ha quindi:
\[ \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2} = -\infty \]
La funzione diverge negativamente a sinistra di 2.
