I limiti notevoli

I limiti notevoli sono limiti ricorrenti di funzioni e successioni che possono essere utili per risolvere molti altri utili.

A cosa serve ricordare un limite notevole? La comprensione di un limite notevole non è immediata. A volte necessita di una dimostrazione. Tuttavia, una volta memorizzato il suo risultato, rende più semplice e veloce la risoluzione di molti altri limiti.

Lista dei limiti notevoli

I principali limiti notevoli sono i seguenti:

$$ \lim_{x \rightarrow ∞} (1+\frac{1}{x})^x = e $$
$$ \lim_{x \rightarrow ∞} (1+\frac{k}{x})^x = e^k $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x }{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 - \cos x }{x^2} = \frac{1}{2} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log(1+x) }{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow ∞} a^x = \begin{cases} +∞ \:\:\: \text{se a>1} \\ 1 \:\:\: \text{se a=1} \\ 0 \:\:\: \text{se -1<a<1} \\ \text{non esiste} \:\:\: \text{se a ≤ -1} \\ \end{cases} $$	Dimostrazione
$$ \lim_{x \rightarrow ∞} \sqrt[x]{a} = 1 $$	Dimostrazione
$$ \lim_{x \rightarrow ∞} \sqrt[x]{x^b} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow ∞} (1+\frac{(1+x)^c - 1}{x})^x = c $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^c - 1}{x} = c $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \tan x }{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \arcsin x }{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \arctan x }{x} = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x \cdot \log x = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \log_b{1+x} }{x} = \frac{1}{ \log b } $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ e^x -1 }{ x } = 1 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ a^x -1 }{ x } = \log a $$