Il limite della successione

Il limite di una successione per n→∞ è $$ \lim_{n \rightarrow ∞} a_n = l $$

Se il limite esiste la successione è detta successione regolare.

Una successione regolare può essere

• divergente (o infinita) se il limite è uguale a ±∞.
• convergente se il limite è un numero finito
• infintesima se il limite è uguale a zero

Nota. Se la successione non ammette un limite è detta successione non regolare.

Un esempio pratico

Esempio 1

Questa successione è limitata e converge a uno.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{n-1}{n} = 1 $$

In questo caso il limite è l=1 e a_n=(n-1)/n.

Secondo la definizione di convergenza del limite per qualsiasi ε>0 esiste almeno un valore v tale che

$$ l-ε < a_n < l+ε \:\:\: \forall n>v $$

Riscrivo la disequazione in una forma equivalente ma più compatta

$$ -ε < a_n -l < ε $$

$$ | a_n -l | < ε $$

Ora sostituisco i termini l=1 e e a_n=(n-1)/n.

$$ | \frac{n-1}{n} - 1 | < ε $$

Svolgo i calcoli algebrici nel membro di sinistra

$$ | \frac{n-1-n}{n} | < ε $$

$$ | \frac{-1}{n} | < ε \ $$

$$ \frac{1}{n} < ε $$

Infine metto in evidenza il termine n.

$$ \frac{1}{ε} < n $$

Questo dimostra che per ogni ε>0 esiste un valore v=1/ε minore di n.

Pertanto, la successione è limitata e il limite è uguale a 1.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{n-1}{n} = 1 $$

Nota. Si capisce anche a colpo d'occhio osservando l'andamento dei primi termini della successione $$ a_n = 0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots $$ in termini reali $$ a_n = 0, 0.5, 0.66, 0.75, 0.8, \dots $$

Esempio 2

Devo verificare se la successione converge a uno.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{1}{n} = 1 $$

In questo caso l=1 e a_n=1/n

$$ | a_n -l | < ε $$

$$ | \frac{1}{n} - 1 | < ε $$

In questo caso il valore assoluto posso riscriverlo in una forma equivalente

$$ 1 - \frac{1}{n} < ε $$

Metto in evidenza la n

$$ - \frac{1}{n} < ε-1 $$

$$ \frac{1}{n} > 1-ε $$

Questa condizione non è verificata per ogni valore di ε>0 come richiede la definizione del limite della successione.

Esempio. Per ε=1 la disequazione è soddisfatta per qualsiasi numero naturale n. $$ \frac{1}{n} > 0 $$ E' soddisfatta anche per ε>1. Ad esempio, ε=10. $$ \frac{1}{n} > -9 $$ Tuttavia, se prendo il valore ε<1 non lo è più. Ad esempio per ε=1/2. $$ \frac{1}{n} > \frac{1}{2} $$ che è soddisfatta solo con n=1. Non è soddisfatta con n=2 e qualsiasi altro numero n>1.

Questo dimostra che il limite della successione non è 1.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{1}{n} \ne 1 $$

Unicità del limite

Una successione convergente ha soltanto un limite.

La successione non può avere due o più limiti diversi.

Dimostrazione

Ipotizzo per assurdo che una successione convergente abbia due limiti distinti l₁ e l₂ con l₁<>l₂

Secondo la definizione per ogni ε>0 vale

$$ ∃ v_1 \:\: :|a_n-l_1| < ε \:\:\: \forall n > v_1 $$

$$ ∃ v_2: \:\: |a_n-l_2| < ε \:\:\: \forall n > v_2 $$

Se per ipotesi il valore ε è

$$ ε = \frac{|l_1-l_2|}{2} $$

allora

$$ 2ε = |l_1-l_2| $$

$$ ε+ε = |l_1-l_2| $$

Attenzione. Quest'ultima uguaglianza è molto importante perché sarà ripresa alla fine della dimostrazione.

Prendo il valore massimo tra v₁ e v₂

$$ v = max(v_1, v_2) $$

Con il valore massimo entrambe le condizioni precedenti sono soddisfatte

$$ ∃ v_1 \:\: :|a_n-l_1| < ε \:\:\: \forall n > v $$

$$ ∃ v_2: \:\: |a_n-l_2| < ε \:\:\: \forall n > v $$

Nota. Se il valore n è maggiore di v allora è maggiore anche di v₁ e v₂. $$ n > v $$ $$ v \ge v_1, v_2 $$ Ad esempio, per ipotesi v₂>v₁ quindi v=v₂. Se n>v allora n>v₁ perché v₁<v.

Quindi sommando entrambi i membri vale la seguente

$$ |a_n-l_1| + |a_n-l_2| < ε+ε $$

Attenzione. Anche quest'ultima equazione è molto importante perché sarà ripresa alla fine della dimostrazione.

A questo punto, analizzo la differenza assoluta tra i due limiti.

$$ | l_1 - l_2 | $$

Nel valore assoluto |l₁-l₂| aggiungo e sottraggo a_n

In questo modo ottengo un'equazione equivalente.

$$ | l_1 - l_2 | = | l_1 - l_2 + a_n - a_n |$$

Poi raggruppo i termini

$$ | l_1 - l_2 | = | ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | $$

Per la proprietà triangolare delle disuguaglianze vale la seguente disequazione

$$ | l_1 - l_2 | =| ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | \le | ( l_1 - a_n ) | + | (a_n - l_2 ) | $$

Nota. Vale la regola algebrica $$ |a+b| \le |a|+|b| $$

Nei singoli moduli posso invertire il segno dei termini senza alterare il valore assoluto

$$ | l_1 - l_2 | =| ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | \le | ( a_n -l_1 ) | + | (a_n - l_2 ) | $$

Nota. Sapendo che $$ |a_n-l_1| + |a_n-l_2| < ε+ε $$ e $$ ε+ε = |l_1-l_2| $$

$$ | l_1 - l_2 | =| ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | < ε+ε $$

$$ | l_1 - l_2 | =| ( l_1 - a_n ) + (a_n - l_2 ) | <|l_1-l_2| $$

$$ | l_1 - l_2 | <|l_1-l_2| $$

Ma è una conclusione impossibile.

Questo dimostra che una successione convergente non può avere due limiti diversi.

E così via.