Il teorema di continuitÓ delle funzioni inverse

Una funzione f(x) strettamente monotòna nell'intervallo chiuso [a,b] è una funzione continua se la sua funzione inversa f-1(x) è continua.

Un esempio pratico

Questa funzione è strettamente monotòna crescente nell'intervallo chiuso [-2,2]

$$ y=f(x)=2x $$

La funzione è invertibile e la sua inversa è

$$ x=f^{-1}(y)= \frac{y}{2} $$

Ecco la rappresentazione grafica sul diagramma cartesiano

un esempio di funzione invertibile in un intervallo chiuso

Per verificare se la funzione f(x) è continua, applico il criterio di continuità delle funzioni monotòne alla funzione inversa.

Nota. Secondo il criterio di continuità delle funzioni monotòne, una funzione è continua se l'immagine Im(f) ha ogni valore tra gli estremi f(a) e f(b) nell'intervallo chiuso [a,b].

In questo caso la funzione da verificare è la

$$ f^{-1}(y)= \frac{y}{2} $$

L'intervallo del dominio della funzione f-1 è

$$ y \in [-4,4] $$

Gli estremi della funzione f-1 sono

$$ f^{-1}(-4)=-2 \\ f^{-1}(4)=2 $$

Quindi, l'immagine della funzione inversa ( ossia il codominio ) è

$$ Im(f^{-1}) = [-2,2] $$

L'immagine della funzione inversa f-1 comprende tutti i valori tra gli estremi f-1(-4) e f-1(4).

Pertanto, secondo il teorema la funzione strettamente monotòna f(x)=2x è continua.

La dimostrazione con spiegazione

Una funzione strettamente monotòna f(x) in un intervallo chiuso [a,b] è una funzione invertibile.

Quindi ha sempre una funzione inversa f-1(y).

$$ y=f(x) $$

$$ x=f^{-1}(y) \:\:\: funzione \: inversa $$

Nota. Una funzione è strettamente monotòna se cresce o decresce in ogni punto dell'intervallo. A differenza della monotònia semplice, la funzione strettamente monotòna non puòe essere costante in nessun punto.

Possono verificarsi due casi:

  • Se la funzione f(x) è strettamente crescente nell'intervallo [a,b] $$ f:[a,b] \rightarrow [f(a),f(b)] $$ $$ f^{-1}:[f(a),f(b)] \rightarrow [a,b] $$
  • Se la funzione f(x) è strettamente decrescente nell'intervallo [a,b] $$ f:[a,b] \rightarrow [f(b),f(a)] $$ $$ f^{-1}:[f(b),f(a)] \rightarrow [a,b] $$

In entrambi i casi, l'immagine della funzione Im(f) comprende tutti i valori tra gli estremi f(a) e f(b).

Quindi, la funzione inversa f-1(y) è continua.

Nota. Secondo il criterio di continuità delle funzioni monotòne, una funzione monotòna è continua se l'immagine Im(f) comprende tutti i valori f(x) tra gli estremi f(a) e f(b).

Se la funzione inversa f-1(x) è continua, anche la funzione invertibile strettamente monotòna f(x) deve essere continua.

E così via.

 


 

Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

FacebookTwitterLinkedinLinkedin
knowledge base

Le funzioni