Il teorema di continuità delle funzioni inverse
Una funzione f(x) strettamente monotòna nell'intervallo chiuso [a,b] è una funzione continua se la sua funzione inversa f-1(x) è continua.
Un esempio pratico
Questa funzione è strettamente monotòna crescente nell'intervallo chiuso [-2,2]
$$ y=f(x)=2x $$
La funzione è invertibile e la sua inversa è
$$ x=f^{-1}(y)= \frac{y}{2} $$
Ecco la rappresentazione grafica sul diagramma cartesiano
Per verificare se la funzione f(x) è continua, applico il criterio di continuità delle funzioni monotòne alla funzione inversa.
Nota. Secondo il criterio di continuità delle funzioni monotòne, una funzione è continua se l'immagine Im(f) ha ogni valore tra gli estremi f(a) e f(b) nell'intervallo chiuso [a,b].
In questo caso la funzione da verificare è la
$$ f^{-1}(y)= \frac{y}{2} $$
L'intervallo del dominio della funzione f-1 è
$$ y \in [-4,4] $$
Gli estremi della funzione f-1 sono
$$ f^{-1}(-4)=-2 \\ f^{-1}(4)=2 $$
Quindi, l'immagine della funzione inversa ( ossia il codominio ) è
$$ Im(f^{-1}) = [-2,2] $$
L'immagine della funzione inversa f-1 comprende tutti i valori tra gli estremi f-1(-4) e f-1(4).
Pertanto, secondo il teorema la funzione strettamente monotòna f(x)=2x è continua.
La dimostrazione con spiegazione
Una funzione strettamente monotòna f(x) in un intervallo chiuso [a,b] è una funzione invertibile.
Quindi ha sempre una funzione inversa f-1(y).
$$ y=f(x) $$
$$ x=f^{-1}(y) \:\:\: funzione \: inversa $$
Nota. Una funzione è strettamente monotòna se cresce o decresce in ogni punto dell'intervallo. A differenza della monotònia semplice, la funzione strettamente monotòna non puòe essere costante in nessun punto.
Possono verificarsi due casi:
- Se la funzione f(x) è strettamente crescente nell'intervallo [a,b] $$ f:[a,b] \rightarrow [f(a),f(b)] $$ $$ f^{-1}:[f(a),f(b)] \rightarrow [a,b] $$
- Se la funzione f(x) è strettamente decrescente nell'intervallo [a,b] $$ f:[a,b] \rightarrow [f(b),f(a)] $$ $$ f^{-1}:[f(b),f(a)] \rightarrow [a,b] $$
In entrambi i casi, l'immagine della funzione Im(f) comprende tutti i valori tra gli estremi f(a) e f(b).
Quindi, la funzione inversa f-1(y) è continua.
Nota. Secondo il criterio di continuità delle funzioni monotòne, una funzione monotòna è continua se l'immagine Im(f) comprende tutti i valori f(x) tra gli estremi f(a) e f(b).
Se la funzione inversa f-1(x) è continua, anche la funzione invertibile strettamente monotòna f(x) deve essere continua.
E così via.
