Criterio di invertibilità delle funzioni

Una funzione continua e strettamente monotòna in un intervallo [a,b] è una funzione invertibile nell'intervallo [a,b]. $$ y = f(x) \: \forall x \in [a,b] $$ $$ x = f^{-1}(y) \: \forall y \in [f(a),f(b)] $$

Pertanto, nell'intervallo [a,b] esiste una funzione inversa che normalmente si indica con il simbolo f^-1.

Un esempio pratico

Questa funzione è continua e strettamente monotona nell'intervallo [0,5].

$$ f(x)=2x $$

Ecco la rappresentazione grafica

Pertanto, la funzione è anche invertibile nell'intervallo [0,5].

$$ y = 2x $$

$$ x = \frac{y}{2} $$

La funzione inversa è

$$ f(y)^{-1}= \frac{y}{2} = x $$

Per ogni valore y₀ dell'immagine Im(f) esiste uno e un solo valore x₀ dell'intervallo [0,5] tale che f(x₀)=y₀.

La dimostrazione con spiegazione

Prendo in considerazione una funzione strettamente crescente nell'intervallo [a,b]

$$ f(a)<f(x)<f(b) \: \forall x \in (a,b) $$

Essendo strettamente crescente, è evidente che f(a) sia il minimo e f(b) il massimo.

Per il teorema di esistenza dei valori intermedi, una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] ammette tutti i valori compresi tra il minimo f(a) e il massimo f(b).

$$ y \in [ f(a), f(b) ] $$

Quindi, per ogni valore y∈[f(a),f(b)] esiste un valore x∈[a,b] tale che

$$ \forall y \in [ f(a), f(b) ] \: \exists \: x \in [a,b] \: : \: f(x)=y $$

Ora devo dimostrare che il valore x sia unico.

Perché? Una funzione invertibile ammette un solo valore x nel dominio per ogni valore y del codominio. Pertanto, devo dimostrare che per ogni y in [f(a),f(b)] esiste uno e un solo valore x in [a,b] tale che f(x)=y.

Per assurdo ipotizzo che ci siano due valori x₁ e x₂ con x₁<x₂ tali che

$$ f(x_1)=f(x_2)=y $$

Essendo due punti diversi x₁≠x₂, in una funzione strettamente crescente dovrebbe risultare anche

$$ f(x_1)<f(x_2) $$

Perché? Secondo il criterio di stretta monotònia una funzione è strettamente crescente f(x) se cresce in ogni punto x dell'intervallo [a,b]. Non può decrescere, né essere costante in nessun punto.

Questo però contraddice l'ipotesi f(x₁)=f(x₂)=y.

Ne deduco che in una funzione strettamente crescente l'uguaglianza f(x₁)=f(x₂) implica l'uguaglianza x₁=x₂.

Pertanto, esiste un solo valore x per ogni valore y e viceversa.

$$ f:[a,b] \Leftrightarrow f:[f(a),f(b)] $$

L'unicità di x è dimostrata.

Questo dimostra anche l'invertibilità della funzione continua e strettamente monotona nell'intervallo [a,b].

E così via.