Criterio di invertibilità delle funzioni
Una funzione continua e strettamente monotòna in un intervallo [a,b] è una funzione invertibile nell'intervallo [a,b]. $$ y = f(x) \: \forall x \in [a,b] $$ $$ x = f^{-1}(y) \: \forall y \in [f(a),f(b)] $$
Pertanto, nell'intervallo [a,b] esiste una funzione inversa che normalmente si indica con il simbolo f-1.
Un esempio pratico
Questa funzione è continua e strettamente monotona nell'intervallo [0,5].
$$ f(x)=2x $$
Ecco la rappresentazione grafica
Pertanto, la funzione è anche invertibile nell'intervallo [0,5].
$$ y = 2x $$
$$ x = \frac{y}{2} $$
La funzione inversa è
$$ f(y)^{-1}= \frac{y}{2} = x $$
Per ogni valore y0 dell'immagine Im(f) esiste uno e un solo valore x0 dell'intervallo [0,5] tale che f(x0)=y0.
La dimostrazione con spiegazione
Prendo in considerazione una funzione strettamente crescente nell'intervallo [a,b]
$$ f(a)<f(x)<f(b) \: \forall x \in (a,b) $$
Essendo strettamente crescente, è evidente che f(a) sia il minimo e f(b) il massimo.
Per il teorema di esistenza dei valori intermedi, una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b] ammette tutti i valori compresi tra il minimo f(a) e il massimo f(b).
$$ y \in [ f(a), f(b) ] $$
Quindi, per ogni valore y∈[f(a),f(b)] esiste un valore x∈[a,b] tale che
$$ \forall y \in [ f(a), f(b) ] \: \exists \: x \in [a,b] \: : \: f(x)=y $$
Ora devo dimostrare che il valore x sia unico.
Perché? Una funzione invertibile ammette un solo valore x nel dominio per ogni valore y del codominio. Pertanto, devo dimostrare che per ogni y in [f(a),f(b)] esiste uno e un solo valore x in [a,b] tale che f(x)=y.
Per assurdo ipotizzo che ci siano due valori x1 e x2 con x1<x2 tali che
$$ f(x_1)=f(x_2)=y $$
Essendo due punti diversi x1≠x2, in una funzione strettamente crescente dovrebbe risultare anche
$$ f(x_1)<f(x_2) $$
Perché? Secondo il criterio di stretta monotònia una funzione è strettamente crescente f(x) se cresce in ogni punto x dell'intervallo [a,b]. Non può decrescere, né essere costante in nessun punto.
Questo però contraddice l'ipotesi f(x1)=f(x2)=y.
Ne deduco che in una funzione strettamente crescente l'uguaglianza f(x1)=f(x2) implica l'uguaglianza x1=x2.
Pertanto, esiste un solo valore x per ogni valore y e viceversa.
$$ f:[a,b] \Leftrightarrow f:[f(a),f(b)] $$
L'unicità di x è dimostrata.
Questo dimostra anche l'invertibilità della funzione continua e strettamente monotona nell'intervallo [a,b].
E così via.
