Limite di funzioni di 2 o più variabili

Prendo una funzione di due variabili f(x,y) $$ f:R^2 \rightarrow R $$ Il limite della funzione è$$ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y) $$che posso scrivere considerando la coppia di valori (x,y) come un vettore con due componenti $$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x}_0} f( \vec{x} ) $$ dove $$ \vec{x} = (x,y) \\ \vec{x}_0 = (x_0,y_0) $$

A cosa serve il limite

Il limite indica il comportamento della funzione f(x,y) quando si avvicina al punto (x₀,y₀).

La funzione può avere uno dei seguenti comportamenti:

• convergere a un numero reale
  il limite è un numero reale finito che indica una quota sull'asse z..
• divergere a più o meno infinito
  il limite esiste ma è più o meno infinito.
• non avere un limite
  il limite non esiste nel punto studiato

Nota. Il concetto di limite è lo stesso già visto nelle funzioni di una variabile f(x). In questo caso, però le variabili indipendenti sono due (x,y) e indicano un punto del piano. L'intorno del punto (x₀,y₀) non è più l'intorno di un punto su una retta ma un intorno sferico di raggio δ nello spazio.

Limite convergente a un numero l di R

Il limite della funzione f(x,y) che tende al punto (x₀,y₀) esiste ed è un numero finito $$ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y) = l \ \in \ R $$ se per ogni epsilon maggiore di zero ε>0 , dove epsilon è un numero molto piccolo, esiste un numero delta maggiore di zero δ>0 tale che la funzione assume valori compresi tra l-ε e l+ε $$ \exists \ \delta >0 \ | \forall \ (x,y) \in B(x_0,y_0) - \{ x_0 \} \Rightarrow l - ε \lt f(x,y) \gt l + ε $$ In alternativa posso anche usare il simbolo del valore assoluto $$ \exists \ \delta >0 \ | \forall \ (x,y) \in B(x_0,y_0) - \{ x_0 \} \Rightarrow | l - \ f(x,y) \ | \ \lt ε $$

Dal punto di vista grafico, in ogni dell'intorno sferico di raggio δ del punto (x₀,y₀) la funzione assume valori compresi tra l-ε e l+ε

Limite divergente a più infinito

Il limite della funzione f(x,y) è più infinito $$ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y) = + \infty $$ se per qualsiasi numero reale M esiste un intorno sferico B di raggio δ del punto (x₀,y₀) in cui la funzione è sempre maggiore di M. $$ \exists \ M \ \in \ R \ | \ \forall \ x \in B(x_0,y_0) - \{ x_0 \} \Rightarrow f(x,y) \gt M $$ Dal punto di vista grafico l'intorno di raggio δ si trova sul piano xy. Il numero reale M, invece, sull'asse z (quota o altezza).

Limite divergente a meno infinito

Il limite della funzione f(x,y) è meno infinito $$ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y) = - \infty $$ se per qualsiasi numero reale M esiste un intorno sferico B del punto (x₀,y₀) in cui la funzione è sempre minore di M. $$ \exists \ M \ \in \ R \ | \ \forall \ x \in B(x_0,y_0) - \{ x_0 \} \Rightarrow f(x,y) \lt M $$ Dal punto di vista grafico, per ogni punto dell'intorno B del punto (x₀,y₀) di raggio δ la funzione f(x,y) è minore di M. Dove M è una quota (o profondità) sull'asse z.

Limite non esiste

L'ultimo caso si verifica se la funzione non converge e non diverge.

Un esempio pratico

Devo studiare il limite della funzione f(x,y) per (x,y) che tende a (0,0)

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} $$

Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} = \frac{0}{0} $$

Provo a studiare il limito usando la tecnica del confronto.

La funzione è sicuramente non negativa per qualsiasi (x,y) perché tutte le incognite sono elevate ad esponente positivo pari.

Quindi posso scrivere la diseguaglianza

$$ 0 \le \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} $$

D'altra parte la funzione è sicuramente inferiore o uguale a y⁴

$$ 0 \le \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} \le y^4 $$

Spiegazione. L'espressione della funzione $$ \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} $$ la posso scrivere in questa forma equivalente $$ y^4 \cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} $$ Il secondo fattore k=x²/(x²+y²) è un valore compreso tra 0 e 1 perché il denominatore è sempre maggiore o uguale al numeratore ( x² ≤ x²+y² ). Pertanto, il fattore y⁴ è moltiplicato per un valore k∈[0,1] compreso tra zero e uno. Quindi vale la diseguaglianza y⁴·k ≤ y⁴ ossia $$ y^4 \cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} \le y^4 $$

Calcolo il limite a tutti i membri della diseguaglianza

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} y^4 $$

Il primo e l'ultimo limite sono pari a zero per (x,y) che tende a (0,0)

$$ 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} \le 0 $$

Pertanto, per il teorema dei carabinieri anche il limite intermedio tende a 0.

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} = 0 $$

E così via.