Limite di funzioni di 2 o più variabili
Prendo una funzione di due variabili f(x,y) $$ f:R^2 \rightarrow R $$ Il limite della funzione è$$ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y) $$che posso scrivere considerando la coppia di valori (x,y) come un vettore con due componenti $$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x}_0} f( \vec{x} ) $$ dove $$ \vec{x} = (x,y) \\ \vec{x}_0 = (x_0,y_0) $$
Quando si parla di limite per una funzione di due variabili, come f(x,y), l'idea è simile a quella di una funzione di una variabile, ma con qualche complicazione in più.
A cosa serve il limite
Il limite indica il comportamento della funzione f(x,y) quando si avvicina al punto (x0,y0).
La funzione può avere uno dei seguenti comportamenti:
- convergere a un numero reale
il limite è un numero reale finito che indica una quota sull'asse z. - divergere a più o meno infinito
il limite esiste ma è più o meno infinito. Ad esempo, se il limite è più infinito (+∞) i valori di f(x,y) diventano arbitrariamente grandi quando (x,y) si avvicina a (x0,y0). - non avere un limite
il limite non esiste nel punto studiato. In questo caso la funzione non converge e non diverge.
Nota. Il concetto di limite è lo stesso già visto nelle funzioni di una variabile f(x). In questo caso, però le variabili indipendenti sono due (x,y) e indicano un punto del piano. L'intorno del punto (x0,y0) non è più l'intorno di un punto su una retta ma un intorno sferico di raggio δ nello spazio.
Limite convergente a un numero l di R
Il limite di una funzione di due variabili \(f(x,y)\) è un valore finito \(l\) se, avvicinandosi con \((x,y)\) al punto \((x_0, y_0)\), i valori di \(f(x,y)\) si avvicinano sempre più a \(l\). Formalmente, per ogni \(\epsilon > 0\), esiste un raggio \(\delta > 0\) tale che, per tutti i punti \((x,y)\) sufficientemente vicini a \((x_0, y_0)\) ma diversi da questo, si ha \(|f(x,y) - l| < \epsilon\).
Il limite della funzione f(x,y) che tende al punto (x0,y0) esiste ed è un numero finito $$ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y) = l \ \in \ R $$ se per ogni epsilon maggiore di zero ε>0 , dove epsilon è un numero molto piccolo, esiste un numero delta maggiore di zero δ>0 tale che la funzione assume valori compresi tra l-ε e l+ε $$ \exists \ \delta >0 \ | \ \forall \ (x,y) \in B(x_0,y_0) - \{ x_0 \} \Rightarrow l - ε \lt f(x,y) \gt l + ε $$ In alternativa posso anche usare il simbolo del valore assoluto $$ \exists \ \delta >0 \ | \ \forall \ (x,y) \in B(x_0,y_0) - \{ x_0 \} \Rightarrow | l - \ f(x,y) \ | \ \lt ε $$
Dal punto di vista grafico, in ogni dell'intorno sferico di raggio δ del punto (x0,y0) la funzione assume valori compresi tra l-ε e l+ε
Limite divergente a più infinito
Il limite di una funzione di due variabili \(f(x,y)\) è \(+\infty\) se, avvicinandosi con \((x,y)\) al punto \((x_0, y_0)\), i valori di \(f(x,y)\) crescono senza limite. Formalmente, questo significa che per ogni numero grande \(M > 0\), esiste un raggio \(\delta > 0\) tale che, per tutti i punti \((x,y)\) sufficientemente vicini a \((x_0, y_0)\) ma diversi da esso, si ha \(f(x,y) > M\).
Il limite della funzione f(x,y) è più infinito $$ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y) = + \infty $$ se per qualsiasi numero reale M esiste un intorno sferico B di raggio δ del punto (x0,y0) in cui la funzione è sempre maggiore di M. $$ \exists \ M \ \in \ R \ | \ \forall \ x \in B(x_0,y_0) - \{ x_0 \} \Rightarrow f(x,y) \gt M $$ Dal punto di vista grafico l'intorno di raggio δ si trova sul piano xy. Il numero reale M, invece, sull'asse z (quota o altezza).
Limite divergente a meno infinito
Il limite di una funzione di due variabili \(f(x,y)\) è \(-\infty\) se, avvicinandosi con \((x,y)\) al punto \((x_0, y_0)\), i valori di \(f(x,y)\) diminuiscono senza limite. Formalmente, questo significa che per ogni numero negativo \(M < 0\), esiste un raggio \(\delta > 0\) tale che, per tutti i punti \((x,y)\) sufficientemente vicini a \((x_0, y_0)\) ma diversi da esso, si ha \(f(x,y) < M\).
Il limite della funzione f(x,y) è meno infinito $$ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)} f(x,y) = - \infty $$ se per qualsiasi numero reale M esiste un intorno sferico B del punto (x0,y0) in cui la funzione è sempre minore di M. $$ \exists \ M \ \in \ R \ | \ \forall \ x \in B(x_0,y_0) - \{ x_0 \} \Rightarrow f(x,y) \lt M $$ Dal punto di vista grafico, per ogni punto dell'intorno B del punto (x0,y0) di raggio δ la funzione f(x,y) è minore di M. Dove M è una quota (o profondità) sull'asse z.
Un esempio pratico
Devo studiare il limite della funzione f(x,y) per (x,y) che tende a (0,0)
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} $$
Si tratta di una forma indeterminata del tipo 0/0
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} = \frac{0}{0} $$
Provo a studiare il limito usando la tecnica del confronto.
La funzione è sicuramente non negativa per qualsiasi (x,y) perché tutte le incognite sono elevate ad esponente positivo pari.
Quindi posso scrivere la diseguaglianza
$$ 0 \le \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} $$
D'altra parte la funzione è sicuramente inferiore o uguale a y4
$$ 0 \le \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} \le y^4 $$
Spiegazione. L'espressione della funzione $$ \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} $$ la posso scrivere in questa forma equivalente $$ y^4 \cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} $$ Il secondo fattore k=x2/(x2+y2) è un valore compreso tra 0 e 1 perché il denominatore è sempre maggiore o uguale al numeratore ( x2 ≤ x2+y2 ). Pertanto, il fattore y4 è moltiplicato per un valore k∈[0,1] compreso tra zero e uno. Quindi vale la diseguaglianza y4·k ≤ y4 ossia $$ y^4 \cdot \frac{x^2}{x^2 + y^2} \le y^4 $$
Calcolo il limite a tutti i membri della diseguaglianza
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} y^4 $$
Il primo e l'ultimo limite sono pari a zero per (x,y) che tende a (0,0)
$$ 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} \le 0 $$
Pertanto, per il teorema dei carabinieri anche il limite intermedio tende a 0.
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \cdot y^4}{x^2 + y^2} = 0 $$
E così via.
