Il limite del prodotto di due funzioni

Se le funzioni $ f(x) $ e $ g(x) $ hanno un limite finito nello stesso punto \( x_0 \) \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \in \mathbb{R} \] \[ \lim_{x \to x_0} g(x) = m \in \mathbb{R} \] il limite del prodotto delle due funzioni è uguale al prodotto dei limiti \[ \lim_{x \to x_0} [f(x)\cdot g(x)] = l \cdot m \]

Questa è una regola fondamentale del calcolo dei limiti.

Quando \( x \) si avvicina a \( x_0 \), \( f(x) \) si avvicina a \( l \) e \( g(x) \) si avvicina a \( m \).

\[ f(x) \approx l \quad \text{e} \quad g(x) \approx m \;\Longrightarrow\; f(x)g(x) \approx l m. \]

Di conseguenza anche il prodotto \( f(x)g(x) \) si avvicina a \( l\cdot m \).

Il caso del prodotto di una funzione per una costante

Se la funzione $ g(x)=k $ è costante, allora si ottiene un'altra regola operativa molto importante:

$$ \lim_{x \to x_0} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to a} f(x) = k \cdot l $$

Questo accade perché moltiplicare una funzione per una costante significa moltiplicare tutti i suoi valori per quel numero.

Quindi, se una funzione tende a $ l $ per $ x \to x_0 $ allora il prodotto tende a $ l \cdot k $.

Un esempio pratico

Considero le funzioni

$$ f(x) = x $$

$$ g(x) = x+1 $$

Calcolo il limite per \( x \to 2 \) delle due funzioni:

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = 2 \]

\[ \lim_{x \to 2} g(x) = 3 \]

Ora calcolo il limite per \( x \to 2 \) del prodotto delle due funzioni

\[ \lim_{x \to 2} f(x) \cdot g(x)  \]

\[ \lim_{x \to 2} x \cdot (x+1) = 2 \cdot (2+1) = 6  \]

Applicando la regola ottengo lo stesso risultato

\[ \lim_{x \to 2} [x(x+1)] = 2 \cdot 3 = 6 \]

Il risultato coincide.

La dimostrazione

La dimostrazione si fa in due parti: prima il caso più semplice \( l = m = 0 \), poi il caso generale.

1] Caso semplice: \( l = m = 0 \)

Considero due funzioni i cui limiti per $ x \to x_0 $ tendono a zero

\[ \lim_{x \to a} f(x) = 0 \]

\[ \lim_{x \to a} g(x) = 0 \]

Per la definizione di limite, preso un numero positivo molto piccolo \( \varepsilon > 0 \), esistono intorni di ( x_0 ) in cui:

\[ |f(x)| < \varepsilon \quad \text{e} \quad |g(x)| < \varepsilon \]

Se entrambe sono vere nello stesso intorno, allora posso moltiplicare:

\[ |f(x)g(x)| = |f(x)|,|g(x)| < \varepsilon \cdot \varepsilon = \varepsilon^2 \]

Poiché \( \varepsilon \) è arbitrariamente piccolo, anche \( \varepsilon^2 \) è piccolo. Quindi:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0 \]

Ho dimostrato che se entrambi i limiti valgono 0, allora anche il prodotto vale 0.

2] Caso generale: \( l \) e \( m \) qualsiasi

Ora suppongo che i due limiti tendono a valori finiti

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \]

\[ \lim_{x \to x_0} g(x) = m \]

Riporto tutto a zero

\[ \lim_{x \to x_0} (f(x) - l) = 0 \]

\[ \lim_{x \to x_0} (g(x) - m) = 0 \]

Quindi, anche il limite del loro prodotto è zero

\[ \lim_{x \to x_0} (f(x) - l) \cdot (g(x) - m) = 0 \]

Ora, sviluppo il prodotto

\[ (f(x) - l) (g(x) - m) =  f(x)g(x) - m f(x) - l g(x) + lm \]

Da qui ricavo:

\[ f(x)g(x) = (f(x) - l)(g(x) - m)  + mf(x) + lg(x) - lm \]

Calcolo il limite per $ x \to x_0 $ in entrambi i membri

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \lim_{x \to x_0} \left[ (f(x) - l)(g(x) - m)  + mf(x) + lg(x) - lm \right] \]

Applico la regola del limite della somma

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = \lim_{x \to x_0}  (f(x) - l)(g(x) - m)  + \lim_{x \to x_0} mf(x) +\lim_{x \to x_0} lg(x) - \lim_{x \to x_0} lm \]

Sapendo che \( \lim_{x \to x_0} (f(x) - l) \cdot (g(x) - m) = 0 \)

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0  + \lim_{x \to x_0} mf(x) +\lim_{x \to x_0} lg(x) - \lim_{x \to x_0} lm \]

In base alla regola del prodotto di un limite per una costante \( \lim_{x \to x_0} mf(x) = m  \lim_{x \to x_0} f(x) = ml = lm \)

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0  + lm +\lim_{x \to x_0} lg(x) - \lim_{x \to x_0} lm \]

Allo stesso modo \( \lim_{x \to x_0} lg(x) = l  \lim_{x \to x_0} g(x) = lm \)

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0  + lm + lm - \lim_{x \to x_0} lm \]

Il limite di una costante è la costante stessa $ \lim_{x \to x_0} lm = lm $

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = 0  + lm + lm -  lm \]

Pertanto

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)g(x) = lm \]

Come volevasi dimostrare 

Il prodotto di una costante per una funzione

Il limite del prodotto di una funzione $ f(x) $ per una costante \( k \in \mathbb{R} \) diversa fa zero ( k \neq 0 ) è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione. \[ \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to a} f(x) = k \cdot l \]

In altre parole, moltiplicare una funzione per una costante significa “scalare” tutti i suoi valori.

Quindi, se la funzione si avvicina a \( l \) quando $ x \to x_0 $, allora il prodotto si avvicina a \( k \cdot l \).

La costante non modifica la struttura del limite, ma soltanto il valore finale.

Esempio pratico

Considero la funzione

\[ f(x) = x^2 - 1 \]

Calcolo il limite per \( x \to 2 \).

La funzione è continua in $ x_0=2 $, quindi posso sostituire direttamente $ x=2 $:

\[ \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \]

Quindi, il limite della funzione per $ x \to 2 $ è 3.

\[ \lim_{x \to 2} f(x) = 3 \]

Ora moltiplico la funzione per una costante positiva

\[ 5f(x) = 5(x^2 - 1) \]

Poi calcolo il limite per $ x \to 2 $:

\[ \lim_{x \to 2} 5(x^2 - 1) =  5(2^2-1) = 15 \]

Applicando il teorema ottengo lo stesso valore:

\[  \lim_{x \to 2} 5(x^2 - 1) = 5 \cdot \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 5 \cdot 3 = 15 \]

Il risultato finale è lo stesso.

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema, considero i due casi: \( k > 0 \) e \( k < 0 \).

1] Caso \( k > 0 \)

Il limite della funzione per $ x \to x_0 $ è

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = l \]

Per la definizione di limite, per ogni \( \varepsilon > 0 \) esiste un intorno di \( x_0 \) in cui

\[ l - \varepsilon < f(x) < l + \varepsilon \]

Poiché $ \varepsilon > 0 $ è un numero positivo arbitrario, per comodità utilizzo $ \frac{\varepsilon}{k} $ in quanto un numero positivo diviso per $ k>0 $ è ancora positivo.

\[ l - \frac{\varepsilon}{k} < f(x) < l + \frac{\varepsilon}{k} \]

Ora moltiplico tutto per \( k \).

Dato che \( k>0 \), moltiplicando le disuguaglianze per \( k \) il verso non cambia:

\[ k l - \varepsilon < k f(x) < k l + \varepsilon \]

Questa è esattamente la definizione di:

\[ \lim_{x \to a} [k f(x)] = k l \]

Il caso \( k>0 \) è quindi dimostrato.

2] Caso \( k < 0 \)

Se \( k<0 \), allora \( -k>0 \).

Posso applicare il risultato già dimostrato al numero positivo \( -k \):

\[ \lim_{x \to a} [(-k)f(x)] = (-k)l \]

Ora, per definizione di limite, per ogni \( \varepsilon>0 \) esiste un intorno di \( x_0 \) tale che

\[ k l - \varepsilon < - k f(x) < - k l + \varepsilon \]

Moltiplicando tutti i membri per \( -1 \) si invertono i versi delle disuguaglianze:

\[ k l + \varepsilon > k f(x) > k l - \varepsilon \]

Riordinando, ottengo:

\[ k l - \varepsilon < k f(x) < k l + \varepsilon \]

In questo modo ho esattamente la definizione di limite:

\[ \lim_{x \to a} [k f(x)] = k l \]

In conclusione, in entrambi i casi si ottiene:

\[ \lim_{x \to a} [k f(x)] = k \cdot \lim_{x \to a} f(x) \]

Come volevasi dimostrare.

Quando le funzioni non hanno entrambe limite finito

Il limite del prodotto è una regola semplice quando entrambe le funzioni hanno limite finito: basta moltiplicare i limiti.

La situazione cambia quando intervengono infinito \( \infty \) o zero. In particolare, la forma (0 \cdot \infty) richiede un’analisi più approfondita.

Se almeno una delle due funzioni non ha limite finito, si possono presentare diversi casi.

	ℓ > 0	ℓ < 0	0	+∞	-∞
m > 0	m·ℓ	m·ℓ	0	+∞	-∞
m < 0	m·ℓ	m·ℓ	0	-∞	+∞
0	0	0	0	?	?
+∞	+∞	-∞	?	+∞	-∞
-∞	-∞	+∞	?	-∞	+∞

Le caselle con il punto interrogativo sono le forme indeterminate, queste non possono essere risolte con la regola del prodotto, richiedono tecniche di risoluzione più avanzate.

In generale, quando le funzioni non hanno entrambe limite finito, la regola del prodotto non è sempre applicabile.

Esempio pratico

Considero il limite

\[ \lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x} \]

Applico la regola

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) \cdot \lim_{x \to +\infty} g(x) $$

In questo caso

$$ \lim_{x \to +\infty} x = \infty $$

$$ \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 $$

Quindi, il prodotto dei limiti è

$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) \cdot g(x) = \infty \cdot 0 $$

Questa è una forma indeterminata. Non posso dire né che $ \infty \cdot 0 = 0 $, né $ \infty \cdot 0 = \infty $

In questo caso la regola del prodotto dei limiti non è applicabile.

Come si risolve?

Per risolvere il problema trasformo il prodotto in un quoziente

\[ \lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x} =   \lim_{x \to +\infty} \frac{ x }{ e^x } \]

Ora ho un'altra forma indeterminata

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{ x }{ e^x } = \frac{ \infty }{ \infty} \]

Tuttavia, sapendo che l’esponenziale cresce più velocemente di una funzione lineare, posso dedurre che il denominatore tende a infinito più velocemente del numeratore.

Quindi, il limite della funzione è zero.

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{ x }{ e^x } = 0 \]

E così via.