Teorema del limite della somma algebrica di due funzioni
Se due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ hanno limite finito per $x \to x_0$
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) = l $$
$$ \lim_{x \to x_0} g(x) = m $$
allora anche la loro somma ha limite finito e vale la somma dei limiti
$$ \lim_{x \to x_0} [f(x)+g(x)] = l + m $$
con $l, m \in \mathbb{R}$
In altre parole, il limite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei loro limiti. Purché i limiti siano entrambi finiti.
$$ \lim_{x \to x_0} [f(x)+g(x)] = l + m $$
La stessa regola si applica anche alla differenza
$$ \lim_{x \to x_0} [f(x)-g(x)] = l - m $$
Questo teorema è molto utile perché mi permette di calcolare separatamente i limiti delle singole funzioni e poi sommarli.
Perché è vero?
L'idea chiave è semplice, vicino a $x_0$, $f(x)$ è "quasi" $l$. Allo stesso modo, vicino a $x_0$, $g(x)$ è "quasi" $m$.
Di conseguenza, la somma $f(x)+g(x)$ si avvicina alla somma dei numeri verso cui tendono, cioè $l+m$.
Nota. Il teorema vale quando entrambi i limiti esistono ed entrambi sono finiti, Se uno dei due limiti non esiste o è infinito, la situazione va analizzata caso per caso. Ad esempio: $$ \lim_{x \to +\infty} x = +\infty $$ $$ \lim_{x \to +\infty} (-x) = -\infty $$ La somma diventa una forma indeterminata. In questo caso il teorema non è applicabile direttamente. $$ +\infty - \infty = \text{ind} $$ Tuttavia, il teorema si può estendere ai limiti infiniti quando non si genera una forma indeterminata. Ad esempio, se due funzioni divergono entrambe verso $ + \infty $ la loro somma diverge ancora verso infinito $ + \infty $ . $$ \infty + \infty = + \infty $$ Analizzando tutti i casi possibili, si nota subito che le forme indeterminate relative alla somma dei limiti sono $ +\infty - \infty $ e $ - \infty + \infty $.
| ℓ | +∞ | -∞ | |
|---|---|---|---|
| m | m + ℓ | +∞ | -∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ | ? |
| -∞ | -∞ | ? | -∞ |
In generale, questo teorema fa parte della proprietà lineare dei limiti che si applica alla somma, alla differenza e al prodotto per una costante.
$$ \lim_{x \to x_0} [a f(x) + b g(x)] = a \lim_{x \to x_0} f(x) + b \lim_{x \to x_0} g(x)$$
Il termine linearità deriva dal fatto che il limite rispetta le operazioni lineari:
Questa proprietà è uno dei pilastri del calcolo dei limiti e rende possibile il metodo di scomposizione delle funzioni complesse in parti elementari.
Un esempio pratico
Calcolo il limite
$$ \lim_{x \to 2} (3x + 5) $$
Posso scrivere la funzione come somma:
$$ 3x + 5 = (3x) + 5 $$
Calcolo i limiti separatamente.
$$ \lim_{x \to 2} 3x = 3 \cdot 2 = 6 $$
$$ \lim_{x \to 2} 5 = 5 $$
Ora applico il teorema:
$$ \lim_{x \to 2} (3x + 5) = 6 + 5 = 11 $$
Il calcolo è immediato perché la somma dei limiti è il limite della somma.
Esempio 2
Considero due funzioni
$$ f(x) = x^2 $$
$$ g(x) = \sin x $$
Calcolo il limite della somma delle due funzioni
$$ \lim_{x \to 0} [x^2 + \sin x] $$
Applico la proprietà lineare dei limiti
$$ \lim_{x \to 0} [x^2 + \sin x] = \lim_{x \to 0} [x^2 ] + \lim_{x \to 0} [\sin x] $$
Ora il limite è in una forma più semplice da calcolare.
Sapendo che entrambi i limiti tendono a zero
$$ \lim_{x \to 0} x^2 = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 $$
Sostituisco i risultati e ottengo:
$$ \lim_{x \to 0} [x^2 + \sin x] = \lim_{x \to 0} [x^2 ] + \lim_{x \to 0} [\sin x] = 0 + 0 = 0 $$
Quindi
$$ \lim_{x \to 0} [x^2 + \sin x] = 0 + 0 = 0 $$
Non serve fare manipolazioni particolari. La proprietà rende il calcolo diretto.
Esempio 3
Devo calcolare questo limite
$$ \lim_{x \to 1} (2x^2 + 3x) $$
Applico la linearità alla somma:
$$ \lim_{x \to 1} (2x^2) + \lim_{x \to 1} (3x) $$
Per ciascun limite applico la proprietà lineare del prodotto di una costante, in altre parole faccio uscire le costanti 2 e 3 dai rispettivi limiti
$$ 2 \cdot \lim_{x \to 1} x^2 + 3 \cdot \lim_{x \to 1} x $$
A questo punto risolvo i due limiti separatamente, entrambi tendono a 1.
$$ 2 \cdot \underbrace{ \lim_{x \to 1} x^2}_{=1} + 3 \cdot \underbrace{ \lim_{x \to 1} x}_{=1} $$
$$ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 $$
$$ = 2 + 3 = 5 $$
Pertanto, il limite iniziale tende a 5
$$ \lim_{x \to 1} (2x^2 + 3x) = 5 $$
In questo esempio ho usato la proprietà lineare per scomprre il problema in parti più semplici.
Nota. Questo esempio è volutamente semplice. Si potrebbe risolvere anche senza applicare esplicitamente la proprietà, ma serve a chiarire il significato e l’utilità della linearità dei limiti. Negli esercizi più complessi, infatti, questa proprietà diventa essenziale. La linearità consente di scomporre una funzione in parti più semplici, calcolare separatamente i limiti e ricombinare poi i risultati. In questo modo, il calcolo risulta più ordinato, modulare e spesso più immediato.
La dimostrazione
Considero due funzioni $ f(x) $ e $ g(x) $ che hanno due limiti finiti \( l,m\in\mathbb{R} \) quando tendono verso $ x \to x_0 $
\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=l \]
\[ \lim_{x \to x_0} g(x)=m \]
Devo dimostrare che il limite della somma delle due funzioni tende a $ l+m $ per $ x \to x_0 $.
\[ \lim_{x \to x_0}[f(x)+g(x)]=l+m \]
Per dimostrarlo analizzo il primo limite
\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=l \]
Per definizione di limite, dato un qualunque \( \varepsilon>0 \), esiste un intorno \(I_1\) di $ x_0 $ tale che:
\[ l - \varepsilon < f(x) < l+ \varepsilon \qquad \forall \ x \in I_1 \ ,\ x \neq x_0 \]
Poiché $ \varepsilon > 0 $ è un numero positivo anche $ \varepsilon/2 $ è positivo.
Essendo $ \varepsilon $ un numero positivo arbitrario, posso sostituire $ \varepsilon $ con $ \varepsilon/2 $
\[ l-\frac{\varepsilon}{2}< f(x) < l+\frac{\varepsilon}{2} \qquad \forall \ x \in I_1,\ x\neq x_0 \]
A questo punto, applico lo stesso procedimento anche al secondo limite
\[ \lim_{x \to x_0} g(x)=m \]
Sempre per lo stesso \( \varepsilon/2 \) esiste un intorno \(I_2 \) di $ x_0 $ tale che:
\[ m-\frac{\varepsilon}{2}< g(x) < m+\frac{\varepsilon}{2} \qquad \forall \ x \in I_2,\ x\neq x_0 \]
Considero ora l’intersezione dei due intorni
\[ I = I_1 \cap I_2 \]
L'intersezione di due intorni di $ x_0 $ è a sua volta un intorno di $ x_0 $.
Quindi, per ogni \(x \in I \), con \(x \neq x_0 \), valgono contemporaneamente entrambe le disuguaglianze.
\[ l-\frac{\varepsilon}{2}< f(x) < l+\frac{\varepsilon}{2} \qquad \forall \ x \in I,\ x\neq x_0 \]
\[ m-\frac{\varepsilon}{2}< g(x) < m+\frac{\varepsilon}{2} \qquad \forall \ x \in I,\ x\neq x_0 \]
Pertanto, posso sommare membro a membro le due diseguaglianze:
\[ \left(l-\frac{\varepsilon}{2}\right)+\left(m-\frac{\varepsilon}{2}\right) < f(x)+g(x) < \left(l+\frac{\varepsilon}{2}\right)+\left(m+\frac{\varepsilon}{2}\right) \]
Semplificando:
\[ (l+m)-\varepsilon < f(x)+g(x) < (l+m)+\varepsilon \qquad \forall \ x \in I,\ x\neq x_0 \]
Questa doppia disuguaglianza equivale a scrivere:
\[ \big| [f(x)+g(x)]-(l+m)\big|<\varepsilon \qquad \forall \ x \in I,\ x\neq x_0 \]
Poiché vale per ogni \( \varepsilon>0 \), per definizione concludo che il limite della somma delle due funzioni $ f(x)+g(x) $ per $ x $ che tende a $ x_0 $ è uguale a $ l+m $
\[ \lim_{x \to \alpha}[f(x)+g(x)]=l+m \]
Come volevasi dimostrare.
Nota. La scelta di \( \varepsilon/2 \) è servita a dividere il margine di errore totale \( \varepsilon \) tra le due funzioni, in modo tale che ciascuna contribuisca al massimo per metà, e la somma resti entro \( \varepsilon \).
E così via.
