Le successioni estratte
Una successione estratta ank è composta soltanto da alcuni indici nk di una successione an. E' anche detta sottosuccessione.
Le sottosuccessioni sono successioni ottenute prendendo soltanto alcuni termini di una successione data, ma senza cambiare il loro ordine.
In altre parole, se si parte da una successione
\[ (a_n) \]
una sottosuccessione si ottiene scegliendo alcuni indici della appartenenti alla successione originaria. Gli indici scelti devono essere numeri naturali in ordine strettamente crescente.
\[ n_1 < n_2 < n_3 < \dots \]
Il risultato è una nuova successione
\[ (a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \dots) \]
Questa nuova successione è una sottosuccessione di \( (a_n) \).
Un esempio pratico
Ho una successione an
$$ a_n = a_1, a_2, a_3, a_4, ... $$
Estraggo dalla successione soltanto i termini con indice pari nk=2k
$$ a_{n_k} = a_2, a_4, ... $$
La successione ank è una successione estratta da an.
Nota. Anche la successione composta dai termini con indice dispari nk=2k-1 è una successione estratta da an.
Esempio 2
Ho la successione
$$ a_n = n^2 $$
I primi sei termini della successione an per k=1,2,3,4,5,6 sono
$$ a_n = 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... $$
La successione estratta ank ha un indice pari a 2k. Quindi, prende in considerazione soltanto i termini pari.
Ad esempio, se k=1 allora nk=2, se k=2 allora nk=4, ecc.
I termini della successione estratta da an sono
$$ a_{n_k} = 4, 16, 36, ... $$
Teorema del limite della sottosuccessione
Se una successione \((a_n)\) converge a un limite finito \( l \in \mathbb{R} \) oppure diverge a \( + \infty \) o \( - \infty \) allora ogni sua sottosuccessione ammette lo stesso limite per \( n \) tendente a infinito.
Pertanto, se una successione converge a $ l $ per $ n \to \infty $, anche le sue sottosuccessioni convergono a $ l $.
Lo stesso accade se una successione diverge a $ +\infty $ o a $ -\infty $, anche le sue sottosuccessioni divergono allo stesso modo.
Nota. Questo teorema vale solo se la successione è regolare, ossia converge o diverge. Se la successione è irregolare (non converge, né diverge), non è detto che lo siano anche le sue sottosuccessioni. Infatti, da una successione irregolare è possibile estrarre una successione convergente. Ad esempio, la successione \( a_n = (-1)^n \) è irregolare perché oscillante. $$ (-1)^n = -1, +1, -1, +1, -1, +1, ... $$ La sottosuccessione \( a_{2n} \} composta estraendo solo gli indici pari è, invece, convergente. $$ (-1)^{2n} = +1, +1, +1, +1, +1, +1, ... $$ Da questo si deduce che se una sottosuccessione è convergente, non si può dedurre che lo sia anche la successione di partenza.
Vediamo diversi esempi, organizzati per casi, in modo da chiarire bene il comportamento delle sottosuccessioni.
Esempio 1
Considero la successione
\[ a_n = \frac{1}{n} \]
I termini sono:
\[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \]
Il limite della successione per \( n \to \infty \) è zero
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{n} \to 0 \]
Anche se prendo una sottosuccessione con indici pari il limite tende a zero
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = \frac{1}{2n} \to 0 \]
Lo stesso accade se estraggo gli indici quadrati:
\[ \lim_{n \to \infty} a_{n^2} = \frac{1}{n^2} \to 0 \]
Tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso limite (0).
Esempio 2
Considero la successione
\[ a_n = n + 1 \]
I termini della successione sono:
\[ 2,3,4,5,6,\dots \]
Questa successione diverge a \( +\infty \)
\[ \lim_{n \to \infty} a_{n} = n+1 \to +\infty \]
Anche il limite della sottosuccessione con indici pari diverge a \( +\infty \)
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = 2n + 1 \to +\infty \]
Lo stesso accade se prendo la sottosuccessione con indici quadratici
\[ \lim_{n \to \infty} a_{n^2} = n^2 + 1 \to +\infty \]
Tutte le sottosuccessioni divergono a \( +\infty \).
Esempio 3
Considero la successione
\[ a_n = -n \]
I termini della successione sono:
\[ -1,-2,-3,-4,\dots \]
La successione diverge a \( - \infty \)
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = -n \to -\infty \]
Le sottosuccessioni con indici pari divergono a meno infinito.
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = -2n \to -\infty \]
Anche qui tutte le sottosuccessioni divergono allo stesso modo.
Esempio 4
Considero la successione
\[ a_n = (-1)^n \]
Si tratta di una successione irregolare perché oscillante, quindi non ha un limite determinato. I termini della successione sono:
\[ -1,1,-1,1,-1,1,\dots \]
Se prendo la sottosuccessione con indici pari, il limite della sottosuccessione converge a +1.
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n} = (-1)^{2n} \to +1 \]
Se invece prendo la sottosuccessione con indici dispari, il limite della sottosuccessione converge a -1.
\[ \lim_{n \to \infty} a_{2n+1} = (-1)^{2n+1} \to -1 \]
In questo caso, la successione di partenza non ha alcun limite, mentre le due sottosuccessioni analizzate hanno comportamenti diversi.
Altri teoremi sulle successioni estratte
Teorema 1
Se la successione di numeri naturali nk è strettamente crescente, allora nk≥k.
L'indice nk della successione estratta ank è sempre maggiore o uguale all'indice k.
Esempio
Se la successione estratta ha un indice
$$ n_k = 2k $$
Per k=1 si ha n1=2.
Per k=2 si ha n2=4.
E via dicendo.
La dimostrazione
La dimostrazione è per induzione. Prendo come base k=1.
$$ P(0): n_1 \ge 1 $$
Nel passo induttivo suppongo valida la seguente ipotesi
$$ P(k): n_k \ge k $$
Poi verifico se è vera la seguente tesi
$$ P(k+1): n_{k+1} \ge k+1 $$
La successione nk è monotòna strettamente crescente, pertanto nk+1>nk.
$$ n_{k+1} > n_k $$
Sapendo che nk≥k.
$$ n_{k+1} > n_k \ge k $$
Quindi
$$ n_{k+1} > k $$
Essendo k un numero naturale, il successore è k+1.
In questo caso non posso più affermare che nk+1>k bensì nk+1≥k
$$ n_{k+1} \ge k+1 $$
Pertanto, la tesi P(k+1) è vera.
Ho così dimostrato il teorema per induzione.
Teorema 2
Se una successione an è stettamente crescente e converge al limite l, allora ogni successione estratta da an converge al limite l.
Dimostrazione
Essendo la successione convergente, fissato un valore ε>0 esiste un indice v tale che
$$ |a_k-l| < ε \:\:\: \forall n>v $$
Per ogni successione estratta posso affermare che l'indice nk è sempre maggiore o uguale all'indice k della successione da cui è estratta.
$$ n_k \ge k $$
Pertanto, quando k>v la seguente condizione è soddisfatta
$$ |a_{nk}-l| < ε $$
E così via.
