Le successioni estratte
Una successione estratta ank è composta soltanto da alcuni indici nk di una successione an.
Un esempio pratico
Ho una successione an
$$ a_n = a_1, a_2, a_3, a_4, ... $$
Estraggo dalla successione soltanto i termini con indice pari nk=2k
$$ a_{n_k} = a_2, a_4, ... $$
La successione ank è una successione estratta da an.
Nota. Anche la successione composta dai termini con indice dispari nk=2k-1 è una successione estratta da an.
Esempio 2
Ho la successione
$$ a_n = n^2 $$
I primi sei termini della successione an per k=1,2,3,4,5,6 sono
$$ a_n = 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... $$
La successione estratta ank ha un indice pari a 2k. Quindi, prende in considerazione soltanto i termini pari.
Ad esempio, se k=1 allora nk=2, se k=2 allora nk=4, ecc.
I termini della successione estratta da an sono
$$ a_{n_k} = 4, 16, 36, ... $$
Teoremi sulle successioni estratte
Teorema 1
Se la successione di numeri naturali nk è strettamente crescente, allora nk≥k.
L'indice nk della successione estratta ank è sempre maggiore o uguale all'indice k.
Esempio
Se la successione estratta ha un indice
$$ n_k = 2k $$
Per k=1 si ha n1=2.
Per k=2 si ha n2=4.
E via dicendo.
La dimostrazione
La dimostrazione è per induzione. Prendo come base k=1.
$$ P(0): n_1 \ge 1 $$
Nel passo induttivo suppongo valida la seguente ipotesi
$$ P(k): n_k \ge k $$
Poi verifico se è vera la seguente tesi
$$ P(k+1): n_{k+1} \ge k+1 $$
La successione nk è monotòna strettamente crescente, pertanto nk+1>nk.
$$ n_{k+1} > n_k $$
Sapendo che nk≥k.
$$ n_{k+1} > n_k \ge k $$
Quindi
$$ n_{k+1} > k $$
Essendo k un numero naturale, il successore è k+1.
In questo caso non posso più affermare che nk+1>k bensì nk+1≥k
$$ n_{k+1} \ge k+1 $$
Pertanto, la tesi P(k+1) è vera.
Ho così dimostrato il teorema per induzione.
Teorema 2
Se una successione an è stettamente crescente e converge al limite l, allora ogni successione estratta da an converge al limite l.
Dimostrazione
Essendo la successione convergente, fissato un valore ε>0 esiste un indice v tale che
$$ |a_k-l| < ε \:\:\: \forall n>v $$
Per ogni successione estratta posso affermare che l'indice nk è sempre maggiore o uguale all'indice k della successione da cui è estratta.
$$ n_k \ge k $$
Pertanto, quando k>v la seguente condizione è soddisfatta
$$ |a_{nk}-l| < ε $$
E così via.
