Le successioni estratte

Una successione estratta a_nk è composta soltanto da alcuni indici n_k di una successione a_n.

Un esempio pratico

Ho una successione a_n

$$a_n = a_1, a_2, a_3, a_4, ...$$

Estraggo dalla successione soltanto i termini con indice pari n_k=2k

$$a_{n_k} = a_2, a_4, ...$$

La successione a_nk è una successione estratta da a_n.

Nota. Anche la successione composta dai termini con indice dispari n_k=2k-1 è una successione estratta da a_n.

Esempio 2

Ho la successione

$$a_n = n^2$$

I primi sei termini della successione a_n per k=1,2,3,4,5,6 sono

$$a_n = 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...$$

La successione estratta a_nk ha un indice pari a 2k. Quindi, prende in considerazione soltanto i termini pari.

Ad esempio, se k=1 allora n_k=2, se k=2 allora n_k=4, ecc.

I termini della successione estratta da a_n sono

$$a_{n_k} = 4, 16, 36, ...$$

Teoremi sulle successioni estratte

Teorema 1

Se la successione di numeri naturali n_k è strettamente crescente, allora n_k≥k.

L'indice n_k della successione estratta a_nk è sempre maggiore o uguale all'indice k.

Esempio

Se la successione estratta ha un indice

$$n_k = 2k$$

Per k=1 si ha n₁=2.

Per k=2 si ha n₂=4.

E via dicendo.

La dimostrazione

La dimostrazione è per induzione. Prendo come base k=1.

$$P(0): n_1 \ge 1$$

Nel passo induttivo suppongo valida la seguente ipotesi

$$P(k): n_k \ge k$$

Poi verifico se è vera la seguente tesi

$$P(k+1): n_{k+1} \ge k+1$$

La successione n_k è monotòna strettamente crescente, pertanto n_k+1>n_k.

$$n_{k+1} > n_k$$

Sapendo che n_k≥k.

$$n_{k+1} > n_k \ge k$$

Quindi

$$n_{k+1} > k$$

Essendo k un numero naturale, il successore è k+1.

In questo caso non posso più affermare che n_k+1>k bensì n_k+1≥k

$$n_{k+1} \ge k+1$$

Pertanto, la tesi P(k+1) è vera.

Ho così dimostrato il teorema per induzione.

Teorema 2

Se una successione a_n è stettamente crescente e converge al limite l, allora ogni successione estratta da a_n converge al limite l.

Dimostrazione

Essendo la successione convergente, fissato un valore ε>0 esiste un indice v tale che

$$|a_k-l| < ε \:\:\: \forall n>v$$

Per ogni successione estratta posso affermare che l'indice n_k è sempre maggiore o uguale all'indice k della successione da cui è estratta.

$$n_k \ge k$$

Pertanto, quando k>v la seguente condizione è soddisfatta

$$|a_{nk}-l| < ε$$

E così via.