Limite di una progressione geometrica
Il limite di una progressione geometrica $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ dipende dal valore della ragione $ q $:
- se \( |q| < 1 \), i termini si avvicinano a zero e quindi il limite è \( 0 \);
- se \( q = 1 \), la successione è costante e il limite è \( a_1 \);
- se \( q > 1 \), i termini crescono senza limite e divergono a \( +\infty \) oppure \( -\infty \) a seconda del segno di \( a_1 \);
- se \( q \leq -1 \), i termini oscillano cambiando segno e non esiste un limite.
Quindi, la progressione converge solo quando \( -1 < q \leq 1 \).
Esempio
Vediamo alcuni esempi concreti per ogni caso.
Caso |q| < 1
Considero una progressione geometrica in cui il primo termine è \( a_1 = 5 \) e la ragione \( q = \frac{1}{2} \)
$$ a_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$
I primi termini della serie sono:
$$ 5, 2.5, 1.25, 0.625, \dots $$
Il valore si avvicina sempre più a zero.
$$ \lim_{n \to \infty} 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0 $$
Caso q = 1
In questa progressione la ragione è $ q=1 $ mentre il primo termine è $ a_1 = 3 $$
$$ a_n = 3 \cdot 1^{n-1} = 3 $$
I primi termini sono:
$$ 3, 3, 3, 3, \dots $$
Poiché la ragione è uguale a 1, il termine neutro della moltiplicazione, il prodotto non cambia.
Quindi, il limite della progressione converge a 3.
$$ \lim_{n \to \infty} 3 \cdot 1^{n-1} = 3 $$
Caso q > 1
Questa progressione ha il primo termine $ a_1 = 2 $ e la ragione $ q=2 $
$$ a_n = 2 \cdot 2^{n-1} $$
I primi termini sono:
$$ 2, 4, 8, 16, 32, \dots $$
La progressione cresce senza limite e il limite diverge positivamente
$$ \lim_{n \to \infty} 2 \cdot 2^{n-1} = +\infty $$
Nota. Se il primo termine è un numero negativo, ad esempio $ a_1 = -2 $, i primi termini sono $$ -2, -4, -8, -16, \dots $$ In questo caso, il limite della progressione dverge negativamente $$ \lim_{n \to \infty} -2 \cdot 2^{n-1} = -\infty $$
Caso q ≤ -1
Questa progressione ha come primo termine $ a_1 = 1 $ e come ragione $ q = -2 $
$$ a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} $$
I primi termini della progressione sono:
$$ 1, -2, 4, -8, 16, \dots $$
In questo caso il segno cambia continuamente e i valori crescono in valore assoluto. Quindi, il limite della progressione non esiste.
E così via.
