Le progressioni geometriche
Una progressione geometrica è una successione numerica in cui il quoziente tra ogni termine an e il termine precedente an-1 è costante. $$ q = \frac{a_n}{ a_{n-1} } $$ Dove n è un numero naturale
Il quoziente tra ogni termine e il successivo è detto ragione della progressione geometrica.
$$ q = \frac{a_n}{ a_{n-1} } $$
Quindi ogni termine della progressione, ad eccezione del primo termine, è uguale al prodotto tra la ragione e il termine precedente
$$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$
La ragione può essere un numero positivo o negativo
- q>0
se i termini della progressione sono tutti positivi o tutti negativi
- se 0<q<1
la progressione è decrescente se i termini sono positivi
(o crescente se sono negativi) - se q=1
la progressione è costante - se q>1
la progressione è crescente se i termini sono positivi
(o decrescente se sono negativi)
- se 0<q<1
- q<0
se i termini della successione alternano il segno positivo e negativo
Nota. Una progressione geometrica non può contenere lo zero tra i suoi elementi. In caso contrario si verificherebbe una divisione per zero.
La progressione geometrica può avere un numero infinito o finito di termini.
Se la progressione geometrica ha un numero finito di termini, il primo e l'ultimo termine sono detti estremi della progressione.
Perché si chiama progressione geometrica? E' detta progressione geometrica perché ogni termine è la media geometrica del termine precedente e del termine successivo. $$ a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} $$
Un esempio pratico
Questa successione è una progressione geometrica
$$ 2 \ , \ 4 \ , \ 8 \ , \ 16 \ , \ 32 \ , \ 64 \ \dots $$
Si tratta di una progressione con infiniti termini.
La ragione della progressione è
$$ q = 2 $$
Nota. I termini della progressione sono determinati in questo modo $$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$ $$ 4 = 2 \cdot 2 \\ 8 = 4 \cdot 2 \\ 16 = 8 \cdot 2 \\ 32 = 16 \cdot 2 \\ 64 = 32 \cdot 2 \\ $$
Essendo q>0 e i termini posinitivi la progressione è crescente.
Esempio 2
Questa successione è una progressione geometrica
$$ 64 \ , \ 32 \ , \ 16 \ , \ 8 \ , \ 4 \ , \ 2 \ \dots $$
E' una processione con un numero finito di termini.
Gli estremi della progressione sono 6 e 486.
La ragione della progressione è
$$ q =\frac{1}{2} $$
Essendo 0<q<1 e i termini positivi la progressione è decrescente.
Nota. I termini della progressione sono determinati in questo modo $$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$ $$ 32 = 64 \cdot \frac{1}{2} \\ 16 = 32 \cdot \frac{1}{2} \\ 8 = 16 \cdot \frac{1}{2} \\ 4 = 8 \cdot \frac{1}{2} \\ 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \\ $$
Esempio 3
Questa progressione è costante
$$ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ \dots $$
In questo caso la ragione della progressione è q=1
$$ q=1 $$
Esempio 4
Questa progressione alterna il segno positivo e negativo perché la ragione è negativa
$$ 2 \ , \ -4 \ , \ 8 \ , \ -16 \ , \ 32 \ , \ -64 \ , \ \dots $$
In questo caso la ragione della progressione è q=-2
$$ q=-2 $$
La progressione non è né crescente, né decrescente
Nota. I termini della progressione sono determinati in questo modo $$ a_n = a_{n-1} \cdot q $$ $$ -4 = 2 \cdot (-2) \\ 8 = (-4) \cdot (-2) \\ -16 = 8 \cdot (-2) \\ 32 = (-16) \cdot (-2) \\ -64 = 32 \cdot (-2) \\ $$
Osservazioni
Alcune osservazioni utili
- Il termine an della progressione geometrica è uguale al prodotto del primo termine della progressione a1 per la potenza della ragione con esponente (n-1) $$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $$ Dove n≥1 è un numero naturale maggiore o uguale a 1
Esempio. Considero una progressione ragione q=3 e il primo termine a1=2 $$ 2 \ , \ 6 \ , \ 18 \ , \ 54 \ , \ 162 \ , \ 486 \ \dots $$ Il quarto termine è $$ a_4 = a_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 3^{4-1} = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54 $$ Dimostrazione. In una progressione ogni termine è uguale al prodotto tra il termine precedente e la ragione q $$ a_ 2 = a_{1} \cdot q \\ a_3 = a_{2} \cdot q \\ \vdots \\ a_n = a_{n-1} \cdot d \\ $$ Moltiplico membro a membro le equazioni e semplifico $$ a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot ... \cdot a_n = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_{n-1} \cdot \underbrace{ q \cdot q \cdot ... \cdot q }_{n-1 \ volte} $$ $$ \not{a_2} \cdot \not{a_3} \cdot \not{a_4} \cdot ... \cdot a_n = a_1 \cdot \not{a_2} \cdot \not{a_3} \cdot ... \cdot \not{a_{n-1}} \cdot q^{n-1} $$ $$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $$
- Due termini qualsiasi della progressione geometrica sono in relazione tra loro tramite la seguente formula $$ a_x = a_y \cdot q^{x-y} $$
Esempio. Considero questa progressione aritmetica con ragione q=3 $$ 2 \ , \ 6 \ , \ 18 \ , \ 54 \ , \ 162 \ , \ 486 \ \dots $$ Il secondo a2=6 e il quarto termine a4=54 sono in relazione tra loro $$ a_2 = a_4 \cdot q^{2-4} $$ $$ 6 = 54 \cdot 3^{-2} $$ $$ 6 = 54 \cdot \frac{1}{3^2} $$ $$ 6 = 54 \cdot \frac{1}{9} $$ $$ 6 = 6 $$ L'identità è soddisfatta.
- Ogni termine della progressione geometrica è uguale alla media geometrica del termine precedente e del termine successivo. $$ a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} $$
Esempio. Considero questa progressione aritmetica con ragione q=3 $$ 2 \ , \ 6 \ , \ 18 \ , \ 54 \ , \ 162 \ , \ 486 \ \dots $$ Il terzo termine a3=18 è uguale alla media geometrica di a2=6 e a4=54 $$ a_3 = \sqrt{a_{2} \cdot a_{4}} = \sqrt{6 \cdot 54} = \sqrt{324} = 18 $$
- Nei primi n termini di una progressione geometrica il prodotto di due termini equidistanti dagli estremi è uguale al prodotto dei termini estremi a1+an. Quindi è costante.
Esempio. In questa progressione gli estremi sono a1=2 e e a5=162 $$ 2 \ , \ 6 \ , \ 18 \ , \ 54 \ , \ 162 $$ Il prodotto degli estremi è $$ a_1 \cdot a_5 = 2 \cdot 162 = 324 $$ Considero due termini equidistanti dagli estremi. Ad esempio a2=6 e a4=54. Poi calcolo il loro prodotto $$ a_2 \cdot a_4 = 6 \cdot 54 = 324 $$ Il prodotto dei termini equidistanti dagli estremi è uguale al prodotto tra gli estremi.
- Il prodotto dei primi n termini di una progressione geometrica è uguale alla radice quadrata del prodotto dei termini estremi a1 e an elevato per n. $$ P_n =\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n} $$
Esempio. Considero questa progressione geometrica $$ 2 \ , \ 6 \ , \ 18 \ , \ 54 $$ Gli estremi sono a1=2 e a4=54. Il prodoto dei primi quattro termini consecutivi della progressione è uguale a $$ P_4 = 3 \cdot 6 \cdot 18 \cdot 54 = 11664 $$ Per calcolare il prodotto uso la formula precedente Il risultato è lo stesso. $$ P_4 = \sqrt{(a_1 \cdot a_4)^4} = \sqrt{(2 \cdot 54)^4} \sqrt{(108)^4}= \sqrt{108^2 \cdot 108^2} = 108 \cdot 108 = 11664 $$
E così via.
