Limite di una progressione aritmetica
Il comportamento di una progressione aritmetica $ a_n = a_1 + (n-1)d $, quando l’indice \( n \) cresce senza limite, dipende dal valore della ragione \( d \).
- Se \( d = 0 \), la successione è costante e il suo limite coincide con il primo termine: \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = a_1
\] - Se \( d \neq 0 \), la successione non si stabilizza ma cresce o decresce senza limite:
\[
\lim_{n \to +\infty} a_n =
\begin{cases}
+\infty & \text{se } d > 0 \\ \\
-\infty & \text{se } d < 0
\end{cases}
\]
In altre parole, una progressione aritmetica ha limite finito solo quando è costante; altrimenti è divergente.
Una progressione aritmetica è una successione di numeri che cresce (o decresce) sempre dello stesso passo. Questo passo costante si chiama ragione e si indica con \( d \).
Ogni termine della progressione può essere ottenuto sommando la ragione al termine precedente
$$ a_n = a_{n-1} + d $$
Il termine generale della successione ha una forma semplice: si parte dal primo valore e si aggiunge \( d \) tante volte quante serve.
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
Questa formula permette di capire subito cosa succede quando \( n \) diventa molto grande, cioè quando andiamo “verso l’infinito”.
Ci sono due casi possibili
1] Caso 1: la ragione è zero
Se \( d = 0 \), ogni termine è identico al primo. In altre parole, la successione non cambia mai.
Di conseguenza, il limite è semplicissimo: la successione resta ferma e quindi tende proprio a quel valore.
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = a_1 \]
2] Caso 2: la ragione è diversa da zero
Se invece \( d \neq 0 \), la situazione cambia completamente.
Ogni passo aggiunge (o sottrae) sempre la stessa quantità. Questo significa che, andando avanti, i valori crescono senza fermarsi oppure diminuiscono senza limite.
- Se \( d > 0 \), ogni termine è più grande del precedente. La successione sale all’infinito.
- Se \( d < 0 \), ogni termine è più piccolo del precedente. La successione scende senza limite.
In forma compatta:
\[
\lim_{n \to +\infty} a_n =
\begin{cases}
+\infty & \text{se } d > 0 \\ \\
-\infty & \text{se } d < 0
\end{cases}
\]
Quindi, se la ragione è diversa da zero la successione diverge, cioè cresce o decresce senza limite.
Pertanto, ogni progressione aritmetica con \( d \neq 0 \) è divergente.
Esempi
Considero una progressione aritmetica con il termine iniziale \( a_1 = 5 \) e una ragione nulla \( d = 0 \).
La successione è:
\[ 5, 5, 5, 5, \dots \]
Qui non cambia nulla nel tempo, quindi:
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = 5 \]
La progressione aritmetica è costante.
Esempio 2
Prendo una progressione con termine iniziale \( a_1 = 2 \) e una ragione positiva \( d = 3 \).
La successione diventa:
\[ 2, 5, 8, 11, 14, \dots \]
Ogni termine aumenta di 3. I valori crescono sempre di più, senza fermarsi.
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \]
In questo caso, la progressione aritmetica diverge positivamente e il limite tende a più infinito.
Esempio 3
Considero una progressione con termine iniziale \( a_1 = 10 \) e una ragione negativa \( d = -2 \).
La successione è:
\[ 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, \dots \]
Ogni passo sottrae 2. I valori scendono sempre più in basso. Quindi, la progressione diverge negativamente.
\[ \lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty \]
In questo caso il limite della progressione aritmetica è meno infinito.
E così via.
