Le progressioni aritmetiche
Una progressione aritmetica è una successione numerica in cui la differenza tra ogni termine an e il termine precedente an-1 è costante. $$ a_n = a_{n-1}+d $$ Dove n è un numero naturale
La differenza tra ogni termine e il successivo è detta ragione della progressione aritmetica.
$$ d=a_n-a_{n-1} $$
La ragione è un numero nullo, positivo o negativo
- d>0
se la progressione aritmetica è crescente - d<0
se la progressione aritmetica è decrescente - d=0
se la progressione aritmetica è costante
La progressione aritmetica può avere un numero infinito o finito di termini.
Se la progressione ha un numero finito di termini, il primo e l'ultimo termine sono detti estremi della progressione.
Perché si chiama progressione aritmetica? E' detta "aritmetica" perché ogni termine an della progressione è uguale alla media aritmetica tra il termine precedente an-1 e il termine successivo an+1. $$ a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} $$
Un esempio pratico
Questa successione è una progressione aritmetica
$$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots $$
Si tratta di una progressione con infiniti termini.
La ragione della progressione è
$$ d = 2 $$
Nota. I termini della progressione sono determinati in questo modo $$ 5 = 3 +2 \\ 7 = 5+2 \\ 9 = 7+2 \\ 11 = 9 +2 \\ 13 = 11+2 \\ $$
Essendo d>0 la progressione è crescente.
Esempio 2
Questa successione è una progressione aritmetica
$$ 21 \ , \ 18 \ , \ 15 \ , \ 12 \ , \ 9 \ , \ 6 \ $$
E' una processione con un numero finito di termini.
Gli estremi della progressione sono 6 e 21.
La ragione della progressione è
$$ d = -3 $$
Essendo d<0 la progressione è decrescente.
Esempio 3
Questa progressione è costante
$$ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ \dots $$
In questo caso la ragione della progressione è nulla
$$ d=0 $$
Osservazioni
Alcune osservazioni utili
- Il termine an della progressione aritmetica è uguale alla somma tra il primo termine della progressione a1 e il prodotto tra la ragione d per (n-1) $$ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d $$
Esempio. Considero una progressione ragione d=2 e il primo termine a1=3 $$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots $$ Il quarto termine è $$ a_4 = a_1 +(n-1) \cdot d = 3+(4-1) \cdot 2 = 9 $$ Dimostrazione. In una progressione la differenza dei termini è costante $$ a_2 - a_{1} = d \\ a_3 - a_{2} = d \\ \vdots \\ a_n - a_{n-1} = d \\ $$ Sommo membro a membro le equazioni e semplifico $$ a_2 - a_1 + a_3 - a_2 + ... + a_n - a_{n-1} = (n-1) \cdot d $$ $$ a_n - a_1 = (n-1) \cdot d $$
- Due termini qualsiasi della progressione aritmetica sono in relazione tra loro tramite la seguente formula $$ a_x = a_y + (x-y) \cdot d $$
Esempio. Considero questa progressione aritmetica con ragione d=2 $$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots $$ Il secondo a2=5 e il quarto termine a4=9 sono in relazione tra loro $$ a_2 = a_4 + (2-4) \cdot d $$ $$ 5 = 9 + (-2) \cdot 2 $$ $$ 5 = 9 -4 $$ $$ 5 = 5 $$
- Nei primi n termini di una progressione aritmetica la somma di due termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma dei termini estremi a1+an. Quindi è costante.
Esempio. In questa progressione gli estremi sono a1=3 e e a6=13 $$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ $$ La somma degli estremi è $$ a_1 + a_6 = 3+13 = 16 $$ Considero due termini equidistanti dagli estremi. Ad esempio a2=5 e a5=11. Poi calcolo la loro somma $$ a_2 + a_5 = 5+11 = 16 $$ La somma è uguale alla somma degli estemi.
- La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale al prodotto n per la media dei termini estremi a1 e an. $$ S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$
Esempio. Considero questa progressione aritmetica $$ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots $$ Gli estremi sono a1=3 e a6=13. La somma dei termini della progressione è uguale a $$ 3+5+7+9+11+13 = 48 $$ Per calcolare la somma uso la formula precedente $$ S_6 = 6 \cdot \frac{3+13}{2} = 6 \cdot \frac{16}{2} = 6 \cdot 8 = 48 $$ Il risultato è lo stesso.
E così via.
