Le progressioni aritmetiche

Una progressione aritmetica è una successione numerica in cui la differenza tra ogni termine a_n e il termine precedente a_n-1 è costante. $$a_n = a_{n-1}+d$$ Dove n è un numero naturale

La differenza tra ogni termine e il successivo è detta ragione della progressione aritmetica.

$$d=a_n-a_{n-1}$$

La ragione è un numero nullo, positivo o negativo

• d>0
  se la progressione aritmetica è crescente
• d<0
  se la progressione aritmetica è decrescente
• d=0
  se la progressione aritmetica è costante

La progressione aritmetica può avere un numero infinito o finito di termini.

Se la progressione ha un numero finito di termini, il primo e l'ultimo termine sono detti estremi della progressione.

Perché si chiama progressione aritmetica? E' detta "aritmetica" perché ogni termine a_n della progressione è uguale alla media aritmetica tra il termine precedente a_n-1 e il termine successivo a_n+1. $$a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$

Un esempio pratico

Questa successione è una progressione aritmetica

$$3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots$$

Si tratta di una progressione con infiniti termini.

La ragione della progressione è

$$d = 2$$

Nota. I termini della progressione sono determinati in questo modo $$5 = 3 +2 \\ 7 = 5+2 \\ 9 = 7+2 \\ 11 = 9 +2 \\ 13 = 11+2 \\ $$

Essendo d>0 la progressione è crescente.

Esempio 2

Questa successione è una progressione aritmetica

$$21 \ , \ 18 \ , \ 15 \ , \ 12 \ , \ 9 \ , \ 6 \ $$

E' una processione con un numero finito di termini.

Gli estremi della progressione sono 6 e 21.

La ragione della progressione è

$$d = -3$$

Essendo d<0 la progressione è decrescente.

Esempio 3

Questa progressione è costante

$$5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ 5 \ , \ \dots$$

In questo caso la ragione della progressione è nulla

$$d=0$$

Osservazioni

Alcune osservazioni utili

• Il termine a_n della progressione aritmetica è uguale alla somma tra il primo termine della progressione a₁ e il prodotto tra la ragione d per (n-1) $$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$

  Esempio. Considero una progressione ragione d=2 e il primo termine a₁=3 $$3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots$$ Il quarto termine è $$a_4 = a_1 +(n-1) \cdot d = 3+(4-1) \cdot 2 = 9$$ Dimostrazione. In una progressione la differenza dei termini è costante $$a_2 - a_{1} = d \\ a_3 - a_{2} = d \\ \vdots \\ a_n - a_{n-1} = d \\ $$ Sommo membro a membro le equazioni e semplifico $$a_2 - a_1 + a_3 - a_2 + ... + a_n - a_{n-1} = (n-1) \cdot d$$ $$a_n - a_1 = (n-1) \cdot d$$

• Due termini qualsiasi della progressione aritmetica sono in relazione tra loro tramite la seguente formula $$a_x = a_y + (x-y) \cdot d$$

  Esempio. Considero questa progressione aritmetica con ragione d=2 $$3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots$$ Il secondo a₂=5 e il quarto termine a₄=9 sono in relazione tra loro $$a_2 = a_4 + (2-4) \cdot d$$ $$5 = 9 + (-2) \cdot 2$$ $$5 = 9 -4$$ $$5 = 5$$

• Nei primi n termini di una progressione aritmetica la somma di due termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma dei termini estremi a₁+a_n. Quindi è costante.

  Esempio. In questa progressione gli estremi sono a₁=3 e e a₆=13 $$3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ $$ La somma degli estremi è $$a_1 + a_6 = 3+13 = 16$$ Considero due termini equidistanti dagli estremi. Ad esempio a₂=5 e a₅=11. Poi calcolo la loro somma $$a_2 + a_5 = 5+11 = 16$$ La somma è uguale alla somma degli estemi.

• La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale al prodotto n per la media dei termini estremi a₁ e a_n. $$S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

  Esempio. Considero questa progressione aritmetica $$3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 9 \ , \ 11 \ , \ 13 \ \dots$$ Gli estremi sono a₁=3 e a₆=13. La somma dei termini della progressione è uguale a $$3+5+7+9+11+13 = 48$$ Per calcolare la somma uso la formula precedente $$S_6 = 6 \cdot \frac{3+13}{2} = 6 \cdot \frac{16}{2} = 6 \cdot 8 = 48$$ Il risultato è lo stesso.

E così via.