Il limite fondamentale della funzione esponenziale nel punto zero
Il limite del rapporto tra l’incremento della funzione esponenziale \( a^x - 1 \) e l’incremento della variabile \( x \), quando \( x \) tende a zero, è uguale al logaritmo naturale della base \( a \). \[\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a \]
Dimostrazione
Voglio dimostrare che il limite ha il seguente risultato
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a \]
Come condizione, assumo \( a > 0 \) perché la funzione esponenziale \( a^x \) e il logaritmo \( \ln a \) sono definiti solo per basi positive, ed escludo \( a = 1 \) perché in questo caso la funzione è costante e il limite diventa un caso banale.
Per fare la dimostrazione mi conviene riscrivere la potenza \( a^x \) usando la funzione esponenziale \( e \).
Il logaritmo naturale è l'inversa della funzione esponenziale, quindi posso riscrivere la variabile $ a $ come $ a = e^{\ln a} $ per ogni \( a > 0 \).
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{( e^{\ln a} )^x - 1}{x} \]
Poi applico la proprietà delle potenze $ (e^u)^x = e^{ux} $ ossia $ (e^{\ln a} )^x = e^{x \ln a} $
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{x} \]
A questo punto faccio un cambio di variabile. Assumo
\[ t = x \ln a \]
Se \( x \to 0 \), allora anche \( t \to 0 \), perché \( \ln a \) è una costante.
Inoltre
\[ x = \frac{t}{\ln a} \]
Sostituendo nel limite ottengo
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t / \ln a} \]
ossia
\[ \lim_{t \to 0} \left( \frac{e^t - 1}{t} \cdot \ln a \right) \]
Poiché \( \ln a \) è una costante, posso portarla fuori dal limite:
\[ \ln a \cdot \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} \]
In questo modo ho isolato il limite notevole fondamentale dell'esponenziale di cui conosco già il risultato
\[ \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1 \]
Quindi ottengo
\[ \ln a \cdot \underbrace{ \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} }_{1} = \ln a \cdot 1 = \ln a \]
Pertanto, anche il limite iniziale tende a $ \ln a $.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a \]
Come volevasi dimostrare.
E così via.
