Le proprietÓ delle potenze

Le potenze con esponente intero, razionale o reale soddisfano le sequenti proprietà

  • Prodotto di potenze di uguale base
    Prima proprietà delle potenze
    Il prodotto di due potenze con uguale base è una potenza che ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. $$ a^x \cdot a^y = a^{x+y} $$

    Esempio $$ 4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3} = 4^5 $$

  • Quoziente di potenze di uguale base
    Seconda proprietà delle potenze
    La divisione di due potenze con uguale base è una potenza che ha la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti (esponente al numeratore meno l'esponente al denominatore). $$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$

    Esempio $$ \frac{5^4}{5^3}= 5^{4-3} = 5^1 $$

  • Potenza di potenza
    Terza proprietà delle potenze
    La potenza di una potenza è nuovamente una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. $$ (a^x)^y = a^{x \cdot y}$$

    Esempio $$ (5^3)^2 =5^{3 \cdot 2} = 5^6 $$

  • Prodotto di potenze con uguale esponente
    Quarta proprietà delle potenze
    Il prodotto di due o più potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi. $$ a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x $$

    Esempio $$ 5^3 \cdot 2^3= (5 \cdot 2)^3 = 10^3 $$

  • Quoziente di potenze con uguale esponente
    Quinta proprietà delle potenze
    La divisione di due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi. $$ \frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x $$

    Esempio $$ \frac{8^3}{2^3}= (\frac{8}{2})^3 = 4^3 $$

Le cinque proprietà delle potenze derivano dal fatto che la potenza è una moltiplicazione ripetuta. Pertanto, riguardano la moltiplicazione e la sua operazione inversa (la divisione).

Corollario

A queste cinque proprietà delle potenze si aggiunge qualche corollario. Il corollario più importante è il seguente.

  • Potenza di un numero con esponente zero
    La potenza di un numero diverso da zero con esponente uguale a zero è sempre uguale a 1. $$ \forall \ n \ne 0 \ \Rightarrow \ n^0 = 1 \ \ \ $$ Vedi dimostrazione.

    Esempio $$ 4^0 = 1 $$

E così via.

 


 

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