Le proprietà delle potenze
Le potenze con esponente intero, razionale o reale soddisfano le sequenti proprietà
- Prodotto di potenze di uguale base
Prima proprietà delle potenze
Il prodotto di due potenze con uguale base è una potenza che ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. $$ a^x \cdot a^y = a^{x+y} $$Esempio $$ 4^2 \cdot 4^3 = 4^{2+3} = 4^5 $$ Spiegazione $$ 4^2 \cdot 4^3 = ( 4 \cdot 4 ) \cdot ( 4 \cdot 4 \cdot 4 ) = 4^5 $$
- Quoziente di potenze di uguale base
Seconda proprietà delle potenze
La divisione di due potenze con uguale base è una potenza che ha la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti (esponente al numeratore meno l'esponente al denominatore). $$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$Esempio $$ \frac{5^4}{5^3}= 5^{4-3} = 5^1 $$ Spiegazione $$ \require{cancel} \frac{5^4}{5^3}= \frac{5 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}} = 5^1 $$
- Potenza di potenza
Terza proprietà delle potenze
La potenza di una potenza è nuovamente una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. $$ (a^x)^y = a^{x \cdot y}$$Esempio $$ (5^3)^2 =5^{3 \cdot 2} = 5^6 $$ Spiegazione $$ (5^3)^2 =(5 \cdot 5 \cdot 5)^2= (5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 5^6 $$
- Prodotto di potenze con uguale esponente
Quarta proprietà delle potenze
Il prodotto di due o più potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi. $$ a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x $$Esempio $$ 5^3 \cdot 2^3= (5 \cdot 2)^3 = 10^3 $$ Spiegazione $$ 5^3 \cdot 2^3= 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) = (5 \cdot 2)^3 = 10^3 $$
- Quoziente di potenze con uguale esponente
Quinta proprietà delle potenze
La divisione di due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi. $$ \frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x $$Esempio $$ \frac{8^3}{2^3}= (\frac{8}{2})^3 = 4^3 $$ Spiegazione $$ \frac{8^3}{2^3}= \frac{8 \cdot 8 \cdot 8}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{8}{2} \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{8}{2} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 $$
Le cinque proprietà delle potenze derivano dal fatto che la potenza è una moltiplicazione ripetuta. Pertanto, riguardano la moltiplicazione e la sua operazione inversa (la divisione).
Corollario
A queste cinque proprietà delle potenze si aggiunge qualche corollario. Il corollario più importante è il seguente.
- Potenza di un numero con esponente zero
La potenza di un numero diverso da zero con esponente uguale a zero è sempre uguale a 1. $$ \forall \ n \ne 0 \ \Rightarrow \ n^0 = 1 \ \ \ $$ Vedi dimostrazione.
Esempio $$ 4^0 = 1 $$
E così via.
