Il limite notevole della funzione esponenziale
Questo limite esprime il comportamento della funzione esponenziale in un intorno dello zero. \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]
Per valori molto piccoli di \( x \), la funzione \( e^x \) può essere approssimata con lo sviluppo lineare:
\[ e^x = 1 + x + o(x) \]
Pertanto:
\[ e^x - 1 \sim x \]
Quindi il rapporto tra le due quantità tende a 1.
Nota. Questa proprietà è fondamentale perché mostra che la derivata della funzione esponenziale nel punto zero è uguale a 1. \[ (e^x)' \big|_{x=0} = 1 \] Questo è alla base dello studio della funzione esponenziale e del numero \( e \). E così via.
Dimostrazione
Devo studiare questo limite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]
Quando $ x \to 0 $ la funzione esponenziale tende a 1, quindi $ e^x-1 \to 0 $.
Pertanto, questo limite è una forma indeterminata del tipo \( \frac{0}{0} \)
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \frac{0}{0} \]
Per risolvere la forma indeterminata, introduco una variabile temporanea
$$ t = e^x-1 $$
Quindi la funzione esponenziale è
$$ e^x = t + 1 $$
Applico il logaritmo naturale in entrambi i membri di $ e^x = t + 1 $ e ricavo la variabile $ x $
$$ \ln( e^x ) = \ln( t + 1) $$
$$ x = \ln( t + 1) $$
A questo punto faccio un cambio di variabile nel limite con $ t = e^x-1 $ e $ x = \ln( t + 1) $, considerando che se $ x \to 0 $ anche $ t \to 0 $
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln( t + 1)} \]
Ora divido sia il numeratore che il denominatore per $ t $
\[ \lim_{t \to 0} \frac{ \frac{ t }{t} }{ \frac{ \ln( t + 1) }{t} } \]
\[ \lim_{t \to 0} \frac{ 1 }{ \frac{ \ln( t + 1) }{t} } \]
Al denominatore c'è un limite notevole di cui conosco il risultato $ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $
Pertanto, il limite per $ t \to 0 $ vale uno
\[ \lim_{t \to 0} \frac{ 1 }{ \frac{ \ln( t + 1) }{t} } = \frac{1}{1} = 1 \]
Quindi, anche il limite iniziale tende a 1.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]
Come volevasi dimostrare.
E così via.
