La derivata della funzione esponenziale

La derivata della funzione esponenziale \( f(x)=a^x \) è \[ \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a \] Dove \( a>0 \) e \( a\neq 1 \).

La derivata di una funzione esponenziale è ancora una funzione esponenziale. L'unica differenza è la presenza del fattore \(\ln a \).

Questo significa che la velocità di variazione della funzione è proporzionale al valore della funzione stessa.

• Se la base è maggiore di uno, la funzione è crescente e la derivata è positiva.
• Se la base è compresa tra zero e uno, il logaritmo naturale è negativo e la derivata è negativa.

Nota. Se la base è il numero di Nepero \( e \), sapendo che \( \ln e =1 \), la formula precedente diventa \[ \frac{d}{dx}e^x=e^x \] La funzione esponenziale naturale è quindi l'unica funzione che coincide con la propria derivata.

Dimostrazione

Applico la definizione di derivata alla funzione

\[ f(x)=a^x \]

Per definizione la derivata di una funzione è il limite del rapporto incrementale per $ h \to 0 $.

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Sostituisco la funzione esponenziale

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \]

Uso la proprietà delle potenze \( a^{x+h}=a^x \cdot a^h \) e ottengo

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a^x(a^h-1)}{h} \]

Poiché \( a^x \) è costante rispetto alla variabile (h), posso portarla fuori dal limite

\[ f'(x)=a^x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h} \]

A questo punto utilizzo il limite fondamentale dell'esponenziale

\[ \lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h}=\ln a \]

Pertanto, la derivata è:

\[ f'(x)=a^x \ln a \]

Si ottiene così la tesi.

Un esempio pratico

Considero la funzione

\[ f(x)=2^x \]

Per calcolare la derivata applico il teorema e ottengo

\[ f'(x)=2^x \ln 2 \]

Poiché il valore del logaritmo naturale di 2 è \(  \ln 2 \approx 0,693 \), la derivata prima della funzione è:

\[ f'(x)\approx 0,693 \cdot 2^x \]

Ad esempio, nel punto \( x=3 \)

\[ f(3)=2^3=8 \]

la derivata prima assume questo valore specifico che misura la rapidità con cui la funzione sta crescendo nel punto considerato.

\[ f'(3)=8 \cdot 0,693 \approx 5,54 \]

E così via.