Derivata parziale

Cos'è la derivata parziale

La derivata parziale di una funzione di due variabili f(x,y) in un punto (x,y) rispetto a x è il limite $$ \frac{d \: f(x,y)}{d \: x} = \lim_{h \rightarrow 0 } \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} $$ mentre la derivata parziale in un punto (x,y) rispetto a y è $$ \frac{d \: f(x,y)}{d \: y} = \lim_{h \rightarrow 0 } \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} $$

Se tale limite esiste ed è reale, allora si dice che la derivata parziale esiste in quel punto.

Come calcolare la derivata parziale

Quando calcolo la derivata parziale di una variabile, considero l'altra variabile costante.

Poi derivo la funzione per la variabile che mi interessa con le classiche regole di derivazione.

Nota. Se la funzione ha più di due variabili, ad esempio f(x,y,z) considero le altre variabili come costanti e derivo la funzione per la variabile di derivazione.

A volte le derivate parziali sono indicate anche con i simboli

$$ D_x \ f \ \ \ \ D_y \ f $$

$$ ∂_x \ f \ \ \ \ ∂_y \ f $$

$$ \frac{∂ \ f}{dx} \ \ \ \ \frac{∂ \ f}{dy} $$

Oppure semplicemente f_x e f_y.

E se una funzione dipende da tre variabili?

In generale se una funzione dipende da più variabili, la derivata parziale è la derivata rispetto a una delle variabili considerando costanti le altre.

Ad esempio, la derivata parziale di f(x,y,z) rispetto a x è

$$ \frac{d \ f(x,y,z)}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0 } \frac{f(x+\Delta x, \ y, \ z)-f(x,y,z) }{ \Delta x } $$

A cosa serve?

La derivata parziale rispetto a x indica la pendenza della funzione nella direzione x.

Nota. Allo stesso modo si calcola la derivata parziale rispetto a y e rispetto a z. $$ \frac{d \ f(x,y,z)}{dy} = \lim_{\Delta y \rightarrow 0 } \frac{f(x, \ y+\Delta y, \ z)-f(x,y,z)}{ \Delta y } $$ $$ \frac{d \ f(x,y,z)}{dz} = \lim_{\Delta z \rightarrow 0 } \frac{f(x, \ y, \ z +\Delta z )-f(x,y,z)}{ \Delta z } $$ A loro volta queste derivate parziali calcolano la pendenza della funzione rispettivamente nella direzione y e nella direzione z.

Va da sé che, in generale, una funzione di $ n $ variabili ha $ n $ derivate parziali.

Un esempio pratico
Altri esempi di derivate parziali
Note

Un esempio pratico

Ho la funzione f(x,y) a due variabili indipendenti

$$ f(x,y) = x^2 + y^3 $$

Calcolo la derivata parziale della funzione f(x,y) rispetto a x.

In questo caso considero y come una costante.

$$ D_x f(x,y) = D_x[x^2 + y^3] = 2x $$

Nota. La derivata di una costante è nulla. Pertanto D_x[y³]=0.

Calcolo la derivata parziale della funzione f(x,y) rispetto a y.

In questo caso considero x come una costante.

$$ D_y f(x,y) = D_y[x^2 + y^3] = 3y^2 $$

Ho calcolato le due derivate parziali della f(x,y).

$$ D_x f(x,y) = 2x $$

$$ D_y f(x,y) = 3y^2 $$

Nota. In questo caso la funzione f(x,y) ammette le derivate in entrambe le variabili indipendenti. Pertanto, le derivate parziali D_x e D_y formano un gradiente. $$ D \: f = [ D_x , D_y ] $$

Altri esempi di derivate parziali

Ecco altri esempi di derivate parziali prime su due variabili.

f(x, y)	$ f_x $	$ f_y $
$ x^2+y^3 $	$ 2x $	$ 3y^2 $
$ x^3y + y^3x $	$ 3x^2y + y^3 $	$ x^3 + 3y^2x $
$ x^2 + 3xy + y^2 $	$ 2x + 3y $	$ 3x + 2y $
$ e^x \sin(y) $	$ e^x \sin(y) $	$ e^x \cos(y) $
$ \sin(xy^2) $	$ \cos(xy^2) \cdot y^2 $	$ \cos(xy^2) \cdot 2xy $
$ e^{xy} \cos y $	$ e^{xy} \cdot y \cos y $	$ x \cdot e^{xy} \cos y - e^{xy} \sin y $
$ e^{xy} \cos y $	in questo caso la variabile di derivazione x è presente in un solo termine quindi il secondo termine è una costante.	in questo caso la variabile di derivazione y è presente in entrambi i termini quindi va usata la regola derivazione del prodotto.
$ \ln(x^2 + y^2) $	$ \frac{2x}{x^2 + y^2} $	$ \frac{2y}{x^2 + y^2} $
$ \log(1+x^2+y^4) $	$ \frac{2x}{1+x^2+y^4} $	$ \frac{4y^3}{1+x^2+y^4} $
$ \frac{1}{x^2 + y^2} $	$ \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2} $	$ \frac{-2y}{(x^2 + y^2)^2} $
$ \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $	$ \frac{-y}{x^2 + y^2} $	$ \frac{x}{x^2 + y^2} $
$ x^y $	$ y x ^{y-1} $	$ x^y \log x $
$ x^y $	come se fosse x^k con k costante	come se fosse k^y con k costante
$ \sqrt{1 + x^2 + y^2} $	$ \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}} $	$ \frac{y}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}} $
$ \frac{xy}{x^2 + y^2} $	$ \frac{y(y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^2} $	$ \frac{x(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2} $

Questi sono altri esempi di derivate parziali ma su funzioni di tre variabili

$ f(x, y, z) $	$ f_x $	$ f_y $	$ f_z $
$ x^2 + y^2 + z^2 $	$ 2x $	$ 2y $	$ 2z $
$ xyz $	$ yz $	$ xz $	$ xy $
$ e^{x+y+z} $	$ e^{x+y+z} $	$ e^{x+y+z} $	$ e^{x+y+z} $
$ \sin(xy + z) $	$ \cos(xy + z) \cdot y $	$ \cos(xy + z) \cdot x $	$ \cos(xy + z) $
$ \ln(x^2 + y^2 + z^2) $	$ \frac{2x}{x^2 + y^2 + z^2} $	$ \frac{2y}{x^2 + y^2 + z^2} $	$ \frac{2z}{x^2 + y^2 + z^2} $
$ x^y + z^x $	$ yx^{y-1} + \log(z) z^x $	$ x^y \log x $	$ x z^{x-1} $
$ \sqrt{1 + x^2 + y^2 + z^2} $	$ \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 + y^2 + z^2}} $	$ \frac{y}{\sqrt{1 + x^2 + y^2 + z^2}} $	$ \frac{z}{\sqrt{1 + x^2 + y^2 + z^2}} $
$ \frac{xz}{y^2 + 1} $	$ \frac{z}{y^2 + 1} $	$ \frac{-2xyz}{(y^2 + 1)^2} $	$ \frac{x}{y^2 + 1} $
$ \arctan\left(\frac{y + z}{x}\right) $	$ \frac{-(y+z)}{x^2 + (y+z)^2} $	$ \frac{x}{x^2 + (y+z)^2} $	$ \frac{x}{x^2 + (y+z)^2} $
$ x^y z $	$ yx^{y-1}z $	$ x^y \log x \cdot z $	$ x^y $
$ x^y z $	Derivata di un prodotto con potenza variabile in $ x $	Uso della regola del logaritmo per derivata rispetto a $ y $	$ x^y $ è una costante rispetto a $ z $

Lo stesso principio può essere applicato con funzioni di n variabili.

Note

Alcune osservazioni e note aggiuntive sulle derivate parziali.

Le derivate parziali non implicano la continuità, né la differenziabilità
L'esistenza delle derivate parziali non garantisce né la continuità né la differenziabilità della funzione.
Esempio. Considero questa funzione \[
f(x,y) =
\begin{cases}
\displaystyle \frac{2xy}{x^2+y^2} & \text{se} \ (x,y) \neq (0,0) \\
0 & \text{se} \ (x,y) = (0,0)
\end{cases}
\] Le derivate parziali della funzione nel punto (x;y)=(0,0) esistono e valgono zero, perché la derivata di zero rispetto a x (o a y) è sempre zero. \[ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \ f(x,y) = 0 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \ f(x,y) = 0 \] La funzione però non è continua in $(0,0)$ perché il limite di $ f(x,y) $ quando $(x,y) \to (0,0)$ dipende dalla direzione con cui mi avvicino al punto. In particolare, se mi avvicino lungo l'asse $x$ (cioè $ y = 0 $) il limite è zero. \[ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,0) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{2x \cdot 0}{x^2 + 0} = 0 \] Anche se mi avvicino lungo l'asse $y$ (cioè $ x = 0 $) il limite è zero \[ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(0,y) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{2 \cdot 0 \cdot y}{0 + y^2} = 0 \] Fin qui sembra andare tutto bene... Ma se provo ad avvicinarmi al punto (0,0) lungo la retta $ y = x $ il limite vale 1. \[ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,x) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{2x \cdot x}{x^2 + x^2} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{2x^2}{2x^2} = 1 \] Pertanto, il limite della funzione $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ nel punto (0,0) non esiste perché dipende dal percorso seguito. Quando il limite non esiste, o non è uguale al valore della funzione in $(0,0)$, la funzione $f$ non è continua in quel punto. In conclusione, le derivate parziali esistono in $ (0,0) $ ma la funzione non è continua in $ (0,0) $.
Derivate parziali di ordine superiore
Le derivate parziali di ordine superiore si ottengono iterando la derivazione: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k} \] Sono dette "pure" se derivate rispetto alla stessa variabile più volte. Sono dette "miste" se derivate rispetto a variabili diverse.\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k}, \quad D^2_{x_i x_k} f, \quad f_{x_k x_i} \]
Esempio. Considero la funzione: \[ f(x,y) = xy^2 \] Calcolo tutte le derivate parziali prime. La derivata rispetto a $x$ è \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y^2 \] La derivata rispetto a $y$ è \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2xy \] Ora calcolo le derivate pure di secondo ordine. La derivata seconda rispetto a $ x $ due volte è \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(y^2) = 0 \] La derivata seconda rispetto a $ y $ due volte è \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x \] Infine, calcolo le derivate miste di secondo ordine. Prima derivo rispetto a $x$, poi rispetto a $y$: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y \] In quest'altro caso prima derivo rispetto a $y$, poi rispetto a $x$: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y \] Come si può notare, in questo caso le derivate seconde miste sono identiche. Questo accade quando le derivate seconde miste sono continue come previsto dal teorema di Schwarz.
Teorema di Schwarz
In una funzione con due o più variabili, se le derivate seconde miste sono continue, allora le derivate miste commutano tra loro \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_i} \]
In altre parole, se cambio l'ordine delle variabili nelle derivate seconde miste ottengo lo stesso risultato. In questo modo il numero effettivo di derivate seconde che devo calcolare si riduce da $ n^2 $ a $ \frac{n(n+1)}{2} $. Dove $ n $ è il numero di variabili della funzione. Questo teorema vale solo per le funzioni con 2 o più variabili. Nelle funzioni con una variabili non serve perché, essendoci una sola variabile, c'è un solo ordine.

Esempio. Considero una funzione semplice in due variabili: \[ f(x,y) = x^2y + 3xy^2 \] Le derivate parziali prime sono \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy \] Le derivate seconde pure sono: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy + 3y^2) = 2y \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 6xy) = 6x \] Le derivate seconde miste sono: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy + 3y^2) = 2x + 6y \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 6xy) = 2x + 6y \] Come previsto dal teorema, poiché le derivate seconde sono continue, posso cambiare l'ordine delle derivate senza problemi e ottenere sempre lo stesso risultato. Quanto riduce il numero di derivate che devo calcolare. Invece di calcolare 4 derivate seconde, ne devo calcolare solo 3.

E così via.

f(x, y)	\( f_x \)	\( f_y \)
\( x^2+y^3 \)	\( 2x \)	\( 3y^2 \)
\( x^3y + y^3x \)	\( 3x^2y + y^3 \)	\( x^3 + 3y^2x \)
\( x^2 + 3xy + y^2 \)	\( 2x + 3y \)	\( 3x + 2y \)
\( e^x \sin(y) \)	\( e^x \sin(y) \)	\( e^x \cos(y) \)
\( \sin(xy^2) \)	\( \cos(xy^2) \cdot y^2 \)	\( \cos(xy^2) \cdot 2xy \)
\( e^{xy} \cos y \)	\( e^{xy} \cdot y \cos y \)	\( x \cdot e^{xy} \cos y - e^{xy} \sin y \)
\( e^{xy} \cos y \)	in questo caso la variabile di derivazione x è presente in un solo termine quindi il secondo termine è una costante.	in questo caso la variabile di derivazione y è presente in entrambi i termini quindi va usata la regola derivazione del prodotto.
\( \ln(x^2 + y^2) \)	\( \frac{2x}{x^2 + y^2} \)	\( \frac{2y}{x^2 + y^2} \)
\( \log(1+x^2+y^4) \)	\( \frac{2x}{1+x^2+y^4} \)	\( \frac{4y^3}{1+x^2+y^4} \)
\( \frac{1}{x^2 + y^2} \)	\( \frac{-2x}{(x^2 + y^2)^2} \)	\( \frac{-2y}{(x^2 + y^2)^2} \)
\( \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \)	\( \frac{-y}{x^2 + y^2} \)	\( \frac{x}{x^2 + y^2} \)
\( x^y \)	\( y x ^{y-1} \)	\( x^y \log x \)
\( x^y \)	come se fosse x^k con k costante	come se fosse k^y con k costante
\( \sqrt{1 + x^2 + y^2} \)	\( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}} \)	\( \frac{y}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}} \)
\( \frac{xy}{x^2 + y^2} \)	\( \frac{y(y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^2} \)	\( \frac{x(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2} \)

\( f(x, y, z) \)	\( f_x \)	\( f_y \)	\( f_z \)
\( x^2 + y^2 + z^2 \)	\( 2x \)	\( 2y \)	\( 2z \)
\( xyz \)	\( yz \)	\( xz \)	\( xy \)
\( e^{x+y+z} \)	\( e^{x+y+z} \)	\( e^{x+y+z} \)	\( e^{x+y+z} \)
\( \sin(xy + z) \)	\( \cos(xy + z) \cdot y \)	\( \cos(xy + z) \cdot x \)	\( \cos(xy + z) \)
\( \ln(x^2 + y^2 + z^2) \)	\( \frac{2x}{x^2 + y^2 + z^2} \)	\( \frac{2y}{x^2 + y^2 + z^2} \)	\( \frac{2z}{x^2 + y^2 + z^2} \)
\( x^y + z^x \)	\( yx^{y-1} + \log(z) z^x \)	\( x^y \log x \)	\( x z^{x-1} \)
\( \sqrt{1 + x^2 + y^2 + z^2} \)	\( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2 + y^2 + z^2}} \)	\( \frac{y}{\sqrt{1 + x^2 + y^2 + z^2}} \)	\( \frac{z}{\sqrt{1 + x^2 + y^2 + z^2}} \)
\( \frac{xz}{y^2 + 1} \)	\( \frac{z}{y^2 + 1} \)	\( \frac{-2xyz}{(y^2 + 1)^2} \)	\( \frac{x}{y^2 + 1} \)
\( \arctan\left(\frac{y + z}{x}\right) \)	\( \frac{-(y+z)}{x^2 + (y+z)^2} \)	\( \frac{x}{x^2 + (y+z)^2} \)	\( \frac{x}{x^2 + (y+z)^2} \)
\( x^y z \)	\( yx^{y-1}z \)	\( x^y \log x \cdot z \)	\( x^y \)
\( x^y z \)	Derivata di un prodotto con potenza variabile in \( x \)	Uso della regola del logaritmo per derivata rispetto a \( y \)	\( x^y \) è una costante rispetto a \( z \)