Derivata parziale

Cos'è la derivata parziale

La derivata parziale di una funzione di due variabili f(x,y) in un punto x è il limite $$ \frac{d \: f(x,y)}{d \: x} = \lim_{h \rightarrow 0 } \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} $$ mentre la derivata parziale in un punto y è $$ \frac{d \: f(x,y)}{d \: y} = \lim_{h \rightarrow 0 } \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} $$

Come calcolare la derivata parziale

Quando calcolo la derivata parziale di una variabile, considero l'altra variabile costante.

Poi derivo la funzione per la variabile che mi interessa con le classiche regole di derivazione.

Nota. Se la funzione ha più di due variabili, ad esempio f(x,y,z) considero le altre variabili come costanti e derivo la funzione per la variabile di derivazione.

A volte le derivate parziali sono indicate anche con i simboli

$$ D_x \ f \ \ \ \ D_y \ f $$

$$ ∂_x \ f \ \ \ \ ∂_y \ f $$

$$ \frac{∂ \ f}{dx} \ \ \ \ \frac{∂ \ f}{dy} $$

Oppure semplicemente fx e fy.

E se una funzione dipende da tre variabili?

In generale se una funzione dipende da più variabili, la derivata parziale è la derivata rispetto a una delle variabili considerando costanti le altre.

Ad esempio, la derivata parziale di f(x,y,z) rispetto a x è

$$ \frac{d \ f(x,y,z)}{dx} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0 } \frac{f(x+\Delta x, \ y, \ z)-f(x,y,z) }{ \Delta x } $$

A cosa serve?

La derivata parziale rispetto a x indica la pendenza della funzione nella direzione x.

Nota. Allo stesso modo si calcola la derivata parziale rispetto a y e rispetto a z. $$ \frac{d \ f(x,y,z)}{dy} = \lim_{\Delta y \rightarrow 0 } \frac{f(x, \ y+\Delta y, \ z)-f(x,y,z)}{ \Delta y } $$ $$ \frac{d \ f(x,y,z)}{dz} = \lim_{\Delta z \rightarrow 0 } \frac{f(x, \ y, \ z +\Delta z )-f(x,y,z)}{ \Delta z } $$ A loro volta queste derivate parziali calcolano la pendenza della funzione rispettivamente nella direzione y e nella direzione z.

    Un esempio pratico

    Ho la funzione f(x,y) a due variabili indipendenti

    $$ f(x,y) = x^2 + y^3 $$

    Calcolo la derivata parziale della funzione f(x,y) rispetto a x.

    In questo caso considero y come una costante.

    $$ D_x f(x,y) = D_x[x^2 + y^3] = 2x $$

    Nota. La derivata di una costante è nulla. Pertanto Dx[y3]=0.

    Calcolo la derivata parziale della funzione f(x,y) rispetto a y.

    In questo caso considero x come una costante.

    $$ D_y f(x,y) = D_y[x^2 + y^3] = 3y^2 $$

    Ho calcolato le due derivate parziali della f(x,y).

    $$ D_x f(x,y) = 2x $$

    $$ D_y f(x,y) = 3y^2 $$

    Nota. In questo caso la funzione f(x,y) ammette le derivate in entrambe le variabili indipendenti. Pertanto, le derivate parziali Dx e Dy formano un gradiente. $$ D \: f = [ D_x , D_y ] $$

    E così via.

     


     

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