La derivata di una funzione inversa
Data una funzione f(x) continua e strettamente crescente ( o strettamente decrescente ) in un intervallo [a,b], se la funzione è derivabile in un punto x di (a,b) e f'(x)≠0 allora anche la sua funzione inversa f-1 è derivabile nel punto y=f(x) e la derivata è uguale a $$ D f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ y=x^3 \]
La sua funzione inversa è
\[ x=\sqrt[3]{y} \]
La derivata della funzione è
\[ f'(x)=3x^2 \]
Applico la formula della derivata della funzione inversa
\[ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)} \]
\[ (f^{-1})'(y)=\frac{1}{3x^2} \]
Fin qui il risultato è espresso in funzione di \( x \).
Poiché dalla funzione inversa so che \( x=\sqrt[3]{y} \), sostituisco \( x \) nell'espressione precedente:
\[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{3(\sqrt[3]{y})^2} \]
Pertanto la derivata è
\[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{3y^{2/3}} \]
ossia
\[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{y^2} } \]
Nota. Avrei ottenuto lo stesso risultato derivando la funzione inversa $ x=\sqrt[3]{y} $ ossia $ x = y^{ \frac{1}{3} } $ $$ (f^{-1})'(y)= D[ y^{ \frac{1}{3} } ] $$ $$ (f^{-1})'(y)= \frac{1}{3} \cdot y^{( \frac{1}{3}-1) } ] $$ $$ (f^{-1})'(y)= \frac{1}{3} \cdot y^{( \frac{1-3}{3}) } ] $$ $$ (f^{-1})'(y)= \frac{1}{3} \cdot y^{- \frac{2}{3} } ] $$ $$ (f^{-1})'(y)= \frac{1}{3 y^{\frac{2}{3} } } $$ $$ (f^{-1})'(y)= \frac{1}{3 \sqrt[3]{y^2} } $$ Ottengo lo stesso risultato.
Esempio 2
Ho la funzione
$$ y=f(x)=x^2 $$
Si tratta di una funzione strettamente crescente per x>0.
Nota. Sono strettamente crescenti perché dati due punti qualsiasi x1 e x2, entrambi maggiori di zero, vale la relazione $$ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) $$
La funzione inversa della f(x) è
$$ x=f^{-1}(y) = \sqrt{x} $$
Spiegazione. Se l'espressione della funzione y=f(x) è $$ y=x^2 $$ per ottenere la x in funzione della y metto sotto radice entrambi i membri dell'equazione $$ \sqrt{y}=\sqrt{x^2} $$ $$ \sqrt{y}=x $$ In questo modo ottengo l'espressione della funzione inversa x=f(y). Ad esempio, se x=3 la funzione vale y=9 $$ y=f(x)=x^2=3^2=9 $$ Per y=9 la funzione inversa vale x=3. $$ x=f^{-1}(y) = \sqrt{x}=\sqrt{9}=3 $$
Essendo la f(x) derivabile in un punto x>0 e strettamente crescente
$$ D[f(x)]=D[x^2]=2x $$
Esiste anche la derivata della funzione inversa per x>0
$$ D[f^{-1}{y}]=D[\sqrt{y}]= \frac{1}{2 \sqrt{y}} $$
Applicando il teorema della derivata inversa ottengo lo stesso risultato.
$$ D f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$
$$ D f^{-1}(\sqrt{y})=\frac{1}{D[x^2]} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}} $$
Le due modalità di calcolo sono equivalenti.
Le derivate delle funzioni trigonometriche inverse
La formula per derivare le funzioni inverse è particolarmente utile alla derivazione delle funzioni trigonometriche inverse, come l'arcoseno o l'arcocoseno.
La derivata dell'arcoseno
La funzione arcoseno è definita nel dominio $ x \in [-1,1] $
$$ y = \arcsin x $$
La sua funzione inversa è definita nell'intervallo $ y \in [ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
$$ x = \sin y $$
A questo punto voglio derivare l'arcoseno rispetto a $ x $.
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = ( \arcsin x )' $$
Applico la formula di derivazione all'arcoseno.
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = \frac{1}{ \frac{ d \ \sin y }{dy}} $$
Sapendo che la derivata della funzione seno è $ \frac{ d \ \sin y }{dy} = \cos y $
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = \frac{1}{\cos y} $$
Ora devo cercare di reintrodurre la variabile $ x $, sapendo che $ x= \sin y $.
Nota. In base alla prima identità fondamentale della trigonometria ( $ \cos^2 y + \sin^2 y = 1 $ ), posso riscrivere il coseno in questa forma equivalente $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} $ La variabile \( y \) è definita nell'intervallo \( y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \), quindi il coseno è sempre non negativo. Pertanto, dalla relazione \( \cos^2 y = 1-\sin^2 y \), segue che \( \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y} \).
Sapendo che $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} $ sostituisco e ottengo:
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = \frac{1}{ \sqrt{1 - \sin^2 y} } $$
Poiché $ x= \sin y $, posso sostituire $ \sin y $ con $ x $.
$$ \frac{ d \ \arcsin x }{dx} = \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2} } $$
Ho così trovato la derivata dell'arcoseno rispetto a $ x $
Le altre funzioni trigonometriche inverse
Allo stesso modo posso trovare le derivate delle altre funzioni trigonometriche inverse.
- Derivata dell'arcocoseno \[ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
- Derivata dell'arcotangente \[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} \]
- Derivata dell'arcocotangente \[ \frac{d}{dx}(\operatorname{arccotg} x) = -\frac{1}{1+x^2} \]
Dimostrazione
Data una funzione f(x) la sua funzione inversa è
$$ x=f^{-1}(y) $$
La derivata della funzione inversa f-1 è uguale al limite del suo rapporto incrementale per h tendente a zero.
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y)}{h} $$
Sapendo che
$$ Δx= f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y) $$
posso riscriverla in questa forma
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{Δx}{h} $$
Sapendo che
$$ h = f(x+Δx) - f(x) $$
trasformo ulteriormente la formula in
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{Δx}{ f(x+Δx) - f(x) } $$
che equivale a
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{Δx}{1 }}{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{1} } $$
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{1} \cdot \frac{1}{Δx} } $$
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx} } $$
Per h tendente a zero anche Δx tende a zero perché
$$ Δx= f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y) $$
Quindi posso scrivere la formula sostituendo h con Δx
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{Δx \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx} } $$
Il denominatore del rapporto è il rapporto incrementale della funzione f(x).
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{Δx \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx} } = \frac{1}{f'(x)} $$
$$ D[f^{-1}(y)] = \frac{1}{f'(x)} $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione della derivata di una funzione inversa.
Dimostrazione alternativa
Considero la funzione $ f(x) $
$$ y = f(x) $$
La sua funzione inversa è
$$ x = f^{-1}(y) $$
Derivo entrambi i membri dell'equazione rispetto a x
$$ D[x] = D[f^{-1}(y)] $$
Poiché $ D[x]=1 $ si ottiene:
$$ 1 = D[f^{-1}(y)] $$
Il secondo membro è una derivata composta, quindi uso la regola della catena $ D[f^{-1}(y)] = (f^{-1})'(y) \cdot y' $:
$$ 1 = (f^{-1})'(y) \cdot y' $$
Poiché $ y'=f'(x) $
$$ 1 = (f^{-1})'(y) \cdot f'(x) $$
Pertanto
$$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{ f'(x)} $$
Corollario
Se la derivata della funzione f'(x)=0 è nulla nel punto x0 allora la funzione inversa f'-1(y) non è derivabile nel punto y0=f(x0). E viceversa.
$$ \frac{df(x_0)}{dx} = 0 \ \Leftrightarrow \ \nexists \ \frac{d^{-1}(y_0)}{dy} $$
Se la derivata della funzione f'(x) non esiste nel punto x0 allora la derivata della funzione inversa f'-1(y)=0 è nulla nel punto y0=f(x0). E viceversa.
$$ \nexists \ \frac{df(x_0)}{dx} \ \Leftrightarrow \ \frac{d^{-1}(y_0)}{dy} = 0 $$
E così via.
