La derivata di una funzione inversa
Data una funzione f(x) continua e strettamente crescente ( o strettamente decrescente ) in un intervallo [a,b], se la funzione è derivabile in un punto x di (a,b) e f'(x)≠0 allora anche la sua funzione inversa f-1 è derivabile nel punto y=f(x) e la derivata è uguale a $$ D f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$
Un esempio pratico
Ho la funzione
$$ y=f(x)=x^2 $$
Si tratta di una funzione strettamente crescente per x>0.
Nota. Sono strettamente crescenti perché dati due punti qualsiasi x1 e x2, entrambi maggiori di zero, vale la relazione $$ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) $$
La funzione inversa della f(x) è
$$ x=f^{-1}(y) = \sqrt{x} $$
Spiegazione. Se l'espressione della funzione y=f(x) è $$ y=x^2 $$ per ottenere la x in funzione della y metto sotto radice entrambi i membri dell'equazione $$ \sqrt{y}=\sqrt{x^2} $$ $$ \sqrt{y}=x $$ In questo modo ottengo l'espressione della funzione inversa x=f(y).
Esempio. Se x=3 la funzione vale y=9 $$ y=f(x)=x^2=3^2=9 $$ Per y=9 la funzione inversa vale x=3. $$ x=f^{-1}(y) = \sqrt{x}=\sqrt{9}=3 $$
Essendo la f(x) derivabile in un punto x>0 e strettamente crescente
$$ D[f(x)]=D[x^2]=2x $$
Esiste anche la derivata della funzione inversa per x>0
$$ D[f^{-1}{y}]=D[\sqrt{y}]= \frac{1}{2 \sqrt{y}} $$
Applicando il teorema della derivata inversa ottengo lo stesso risultato.
$$ D f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$
$$ D f^{-1}(\sqrt{y})=\frac{1}{D[x^2]} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}} $$
Le due modalità di calcolo sono equivalenti.
Dimostrazione
Data una funzione f(x) la sua funzione inversa è
$$ x=f^{-1}(y) $$
La derivata della funzione inversa f-1 è uguale al limite del suo rapporto incrementale per h tendente a zero.
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y)}{h} $$
Sapendo che
$$ Δx= f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y) $$
posso riscriverla in questa forma
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{Δx}{h} $$
Sapendo che
$$ h = f(x+Δx) - f(x) $$
trasformo ulteriormente la formula in
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{Δx}{ f(x+Δx) - f(x) } $$
che equivale a
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{Δx}{1 }}{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{1} } $$
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{1} \cdot \frac{1}{Δx} } $$
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx} } $$
Per h tendente a zero anche Δx tende a zero perché
$$ Δx= f^{-1}(y+h)-f^{-1}(y) $$
Quindi posso scrivere la formula sostituendo h con Δx
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{Δx \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx} } $$
Il denominatore del rapporto è il rapporto incrementale della funzione f(x).
$$ D[f^{-1}(y)] = \lim_{Δx \rightarrow 0} \frac{ 1 }{ \frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx} } = \frac{1}{f'(x)} $$
$$ D[f^{-1}(y)] = \frac{1}{f'(x)} $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione della derivata di una funzione inversa.
Corollario
Se la derivata della funzione f'(x)=0 è nulla nel punto x0 allora la funzione inversa f'-1(y) non è derivabile nel punto y0=f(x0). E viceversa.
$$ \frac{df(x_0)}{dx} = 0 \ \Leftrightarrow \ \nexists \ \frac{d^{-1}(y_0)}{dy} $$
Se la derivata della funzione f'(x) non esiste nel punto x0 allora la derivata della funzione inversa f'-1(y)=0 è nulla nel punto y0=f(x0). E viceversa.
$$ \nexists \ \frac{df(x_0)}{dx} \ \Leftrightarrow \ \frac{d^{-1}(y_0)}{dy} = 0 $$
E così via.
