La derivata della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni
Per calcolare la derivata di una somma, differenza, prodotto o quoziente di funzioni, uso le seguenti regole di derivazione.
$$ (f+g)'=f'+g' $$ $$ (f-g)'=f'-g' $$ $$ (f \cdot g)'=f' \cdot g + f \cdot g' $$ $$ (\frac{f}{g} )'= \frac{ f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$
Per dimostrare e spiegare queste semplici regole di derivazione, basta calcolare il rapporto incrementale dell'operazione.
La derivata della somma di funzioni
La derivata della somma di funzioni (f+g)' è uguale alla somma delle derivate delle funzioni f'+g'
$$ (f+g)'=f'+g' $$
Dimostrazione
Calcolo il rapporto incrementale della funzione f+g
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h)+g(x+h) ] - [ f(x)+g(x) ]}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
dove
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f' $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g' $$
e pertanto
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = f' + g' $$
Ho così dimostrato che la derivata della somma di funzioni è uguale alla somma delle derivate delle funzioni.
La derivata della differenza di funzioni
La derivata della differenza di funzioni (f-g)' è uguale alla differenza delle derivate delle funzioni f'-g'
$$ (f-g)'=f'-g' $$
Dimostrazione
Calcolo il rapporto incrementale della funzione f-g
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h)-g(x+h) ] - [ f(x)+g(x) ] }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-g(x+h)-f(x)+g(x)}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
dove
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f' $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g' $$
e pertanto
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = f' - g' $$
Ho dimostrato che la derivata della sottrazione di due funzioni è uguale alla differenza delle derivate delle funzioni.
La derivata del prodotto di funzioni
La derivata del prodotto di funzioni (f·g)' è uguale alla somma del prodotto di ogni funzione per la derivata dell'altra funzione f'·g + f·g'
$$ (f·g)'=f'·g + f·g' $$
Dimostrazione
Calcolo il rapporto incrementale della funzione f·g
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h) \cdot g(x+h) ] - [ f(x) \cdot g(x) ] }{h} $$
Poi aggiungo e sottraggo g(x)f(x+h) al numeratore del rapporto
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h) \cdot g(x+h) ] - [ f(x) \cdot g(x) ] - g(x) \cdot f(x+h) + g(x) \cdot f(x+h) }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x) - g(x) \cdot f(x+h) + g(x) \cdot f(x+h) }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x) \cdot [ f(x+h) - f(x) ] + f(x+h) \cdot [ g(x+h) - g(x) ] }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x) \cdot [ f(x+h) - f(x) ] + f(x+h) \cdot [ g(x+h) - g(x) ] }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x) \cdot [ f(x+h) - f(x) ] }{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) \cdot [ g(x+h) - g(x) ]}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} g(x) \cdot \frac{ f(x+h) - f(x) }{h} + \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) \cdot \frac{ g(x+h) - g(x) }{h} $$
$$ g(x) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) - f(x) }{h} + f(x) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x+h) - g(x) }{h} $$
dove
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f' $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g' $$
e pertanto
$$ g(x) \cdot f'(x) + f(x) \cdot g'(x) $$
Ho così dimostrato che la derivata del prodotto di funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ogni funzione per la derivata dell'altra.
La derivata del quoziente di funzioni
La derivata del quoziente di funzioni (f/g)' è uguale al rapporto tra la differenza del prodotto tra ( f'·g - f·g' ) e il quadrato della seconda funzione g2
$$ (\frac{f}{g} )'= \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$
Dimostrazione
Posso considerare la funzione f/g come il prodotto tra la f(x) e il reciproco di g(x).
$$ \frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g} $$
Poi calcolo la derivata dei singoli fattori.
Derivata della funzione f
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h) \cdot g(x+h) ] - [ f(x) \cdot g(x) ] }{h} = f' $$
Derivata della funzione 1/g
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \begin{pmatrix} \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \begin{pmatrix} \frac{g(x)- g(x+h)}{g(x+h) \cdot g(x) } \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} - \begin{pmatrix} \frac{g(x+h)- g(x)}{g(x+h) \cdot g(x) } \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} - \begin{pmatrix} \frac{g(x+h)- g(x)}{ h } \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{g(x+h) \cdot g(x)} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} - \begin{pmatrix} \frac{g(x+h)- g(x)}{ h } \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{g(x+h)} \cdot \frac{1}{g(x)} $$
$$ -g'(x) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{g(x+h)} \cdot \frac{1}{g(x)} $$
$$ -g'(x) \cdot \frac{1}{g(x)^2} $$
$$ \frac{ -g'(x)} { g(x)^2} $$
La derivata del rapporto f/g
A questo punto conosco tutte le derivate
Secondo la regola di derivazione della moltiplicazione
$$ ( f \cdot \frac{1}{g} )' = f' \cdot \frac{1}{g} + f \cdot ( \frac{1}{g} )' $$
$$ = f' \cdot \frac{1}{g} + f \cdot ( \frac{-g'}{g^2} ) $$
$$ = \frac{f'}{g} - \frac{ f \cdot g' }{g^2} $$
$$ = \frac{ f' \cdot g - f \cdot g' }{g^2} $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione del quoziente di due funzioni.
