La derivata della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni
Per calcolare la derivata di una somma, differenza, prodotto o quoziente di funzioni, uso le seguenti regole di derivazione.
$$ (f+g)'=f'+g' $$ $$ (f-g)'=f'-g' $$ $$ (f \cdot g)'=f' \cdot g + f \cdot g' $$ $$ (\frac{f}{g} )'= \frac{ f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$ $$ (k \cdot f)' = k \cdot f' $$
Per dimostrare e spiegare queste semplici regole di derivazione, basta calcolare il rapporto incrementale dell'operazione.
La derivata della somma di funzioni
La derivata della somma di funzioni (f+g)' è uguale alla somma delle derivate delle funzioni f'+g'
$$ (f+g)'=f'+g' $$
Esempio
Calcolo la derivata della funzione $ y=x^2 + 3x $
$$ y' = D[x^2+3x] $$
Applico la regola della derivata della somma
$$ y' = D[x^2]+ D[3x] $$
Calcolo le derivate dei singoli termini sapendo che $ D[x^2]=2x $ e $ D[3x]= 3 $
$$ y' = 2x+ 3 $$
La stessa regola si può applicare anche se le funzioni sono più di due.
Dimostrazione
Calcolo il rapporto incrementale della funzione f+g
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h)+g(x+h) ] - [ f(x)+g(x) ]}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h)+g(x+h) - f(x) - g(x) }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h) - f(x) ] + [ g(x+h) - g(x) ] }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
dove
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f' $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g' $$
e pertanto
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = f' + g' $$
Ho così dimostrato che la derivata della somma di funzioni è uguale alla somma delle derivate delle funzioni.
La derivata della differenza di funzioni
La derivata della differenza di funzioni (f-g)' è uguale alla differenza delle derivate delle funzioni f'-g'
$$ (f-g)'=f'-g' $$
Esempio
Calcolo la derivata della funzione $ y=x^2 - 3x $
$$ y' = D[x^2-3x] $$
Vale la stessa regola già vista per la somma
$$ y' = D[x^2]- D[3x] $$
Calcolo le derivate dei singoli termini. Poiché che $ D[x^2]=2x $ e $ D[3x]= 3 $ scrivo:
$$ y' = 2x - 3 $$
Il risultato finale è la derivata della funzione.
Dimostrazione
Calcolo il rapporto incrementale della funzione f-g
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h)-g(x+h) ] - [ f(x)+g(x) ] }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-g(x+h)-f(x)+g(x)}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
dove
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f' $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g' $$
e pertanto
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = f' - g' $$
Ho dimostrato che la derivata della sottrazione di due funzioni è uguale alla differenza delle derivate delle funzioni.
La derivata del prodotto di funzioni
La derivata del prodotto di funzioni (f·g)' è uguale alla somma del prodotto di ogni funzione per la derivata dell'altra funzione f'·g + f·g'
$$ (f·g)'=f'·g + f·g' $$
Esempio
Devo calcolare la derivata della funzione $ y = x^2 \cdot \sin x $
$$ y' = D[ x^2 \cdot \sin x ] $$
Applico la regola del prodotto di due funzioni
$$ y' = D[ x^2 ] \cdot \sin x + x^2 \cdot D[ \sin x ] $$
Sapendo che la derivata $ D[x^2] = 2x $ e la derivata $ D[ \sin x] = \cos x $
$$ y' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x $$
Ho così ottenuto la derivata della funzione.
Dimostrazione
Calcolo il rapporto incrementale della funzione f·g
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h) \cdot g(x+h) ] - [ f(x) \cdot g(x) ] }{h} $$
Poi aggiungo e sottraggo g(x)f(x+h) al numeratore del rapporto
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h) \cdot g(x+h) ] - [ f(x) \cdot g(x) ] - g(x) \cdot f(x+h) + g(x) \cdot f(x+h) }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x) - g(x) \cdot f(x+h) + g(x) \cdot f(x+h) }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x) \cdot [ f(x+h) - f(x) ] + f(x+h) \cdot [ g(x+h) - g(x) ] }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x) \cdot [ f(x+h) - f(x) ] + f(x+h) \cdot [ g(x+h) - g(x) ] }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x) \cdot [ f(x+h) - f(x) ] }{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) \cdot [ g(x+h) - g(x) ]}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} g(x) \cdot \frac{ f(x+h) - f(x) }{h} + \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) \cdot \frac{ g(x+h) - g(x) }{h} $$
$$ g(x) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) - f(x) }{h} + f(x) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g(x+h) - g(x) }{h} $$
dove
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f' $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = g' $$
e pertanto
$$ g(x) \cdot f'(x) + f(x) \cdot g'(x) $$
Ho così dimostrato che la derivata del prodotto di funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ogni funzione per la derivata dell'altra.
La derivata del prodotto di una funzione per una costante
La derivata del prodotto di una funzione f per una costante k è uguale al prodotto della derivata della funzione f per la costante k.
$$ (k·f)'=k \cdot f' $$
In altre parole, nel caso della derivata di un prodotto tra una costante k e una funzione f, la costante può essere portata fuori dall'operazione di derivazione.
Esempio
Calcolo la derivata della funzione $ y= 3 x^2 $
$$ y'=D[3 \cdot x^2] $$
Applico la regola facendo uscire la costante dalla derivata del prodotto
$$ y'=3 \cdot D[x^2] $$
Poi calcolo la derivata del termine, sapendo che $ D[x^2] = 2x $
$$ y'=3 \cdot 2x $$
$$ y' = 6x $$
Il risultato finale è la derivata della funzione iniziale.
Dimostrazione
Questa proprietà è un corollario della regola della derivazione del prodotto di due funzioni. In questo caso, una delle due funzioni è una costante k.
$$ (k·f)'=k'·f + k·f' $$
Sapendo che la derivata di una costante è zero ovvero k'=0.
$$ (k·f)'=0·f + k·f' $$
$$ (k·f)'=k·f' $$
Questo dimostra che la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione.
Dimostrazione alternativa
Calcolo il limite del rapporto incrementale del prodotto di una costante k per una funzione f(x).
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ k \cdot f(x+h) - k \cdot f(x) }{h} $$
Svolgo un raggruppamento per k al numeratore
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ k \cdot \left[ f(x+h) - f(x) \right] }{h} $$
Poiché k è una costante, può uscire dal limite.
$$ k \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) - f(x) }{h} $$
Il limite è la derivata f'(x) della funzione
$$ k \cdot f'(x) $$
Come volevasi dimostrare.
La derivata del quoziente di funzioni
La derivata del quoziente di funzioni (f/g)' è uguale al rapporto tra la differenza dei prodotti ( f'·g - f·g' ) e il quadrato della seconda funzione g2
$$ (\frac{f}{g} )'= \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$
Esempio
Devo calcolare la derivata della funzione
$$ y=\frac{x+1}{x-1} $$
Applico la regola del quoziente:
$$ y'=\frac{(x+1)' \cdot (x-1) - (x+1) \cdot (x-1)'}{(x-1)^2} $$
Sapendo che la derivata $ (x+1)' =1 $ e la derivata $ (x-1)'=1 $
$$ y'= \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1)\cdot 1}{(x-1)^2} $$
$$ y' = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} $$
Semplificando il numeratore:
$$ y' = \frac{-2}{(x-1)^2} $$
Pertanto, la derivata della funzione è
$$ y' = - \frac{2}{(x-1)^2} $$
Dimostrazione
Posso considerare la funzione f/g come il prodotto tra la f(x) e il reciproco di g(x).
$$ \frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g} $$
Poi calcolo la derivata dei singoli fattori.
Derivata della funzione f
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ [ f(x+h) \cdot g(x+h) ] - [ f(x) \cdot g(x) ] }{h} = f' $$
Derivata della funzione 1/g
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} }{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \begin{pmatrix} \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \begin{pmatrix} \frac{g(x)- g(x+h)}{g(x+h) \cdot g(x) } \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} - \begin{pmatrix} \frac{g(x+h)- g(x)}{g(x+h) \cdot g(x) } \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} - \begin{pmatrix} \frac{g(x+h)- g(x)}{ h } \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{g(x+h) \cdot g(x)} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} - \begin{pmatrix} \frac{g(x+h)- g(x)}{ h } \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{g(x+h)} \cdot \frac{1}{g(x)} $$
$$ -g'(x) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{g(x+h)} \cdot \frac{1}{g(x)} $$
$$ -g'(x) \cdot \frac{1}{g(x)^2} $$
$$ \frac{ -g'(x)} { g(x)^2} $$
La derivata del rapporto f/g
A questo punto conosco tutte le derivate
Secondo la regola di derivazione della moltiplicazione
$$ ( f \cdot \frac{1}{g} )' = f' \cdot \frac{1}{g} + f \cdot ( \frac{1}{g} )' $$
$$ = f' \cdot \frac{1}{g} + f \cdot ( \frac{-g'}{g^2} ) $$
$$ = \frac{f'}{g} - \frac{ f \cdot g' }{g^2} $$
$$ = \frac{ f' \cdot g - f \cdot g' }{g^2} $$
Ho così dimostrato la regola di derivazione del quoziente di due funzioni.
