La derivata di una costante

La derivata di una funzione costante è nulla. $$ f(x)=k \:\: \rightarrow \:\: f'(x)=0 $$

La spiegazione è facilmente dimostrabile

Dimostrazione

Data una funzione f(x) definita nell'intervallo (a,b) e un generico punto x del dominio.

$$ f(x)= k $$

Per qualsiasi valore del dominio, la funzione f(x) restituisce sempre lo stesso valore k.

Il grafico della funzione è il seguente:

il grafico della funzione costante

Per ottenere la derivata della funzione, devo calcolare il limite del rapporto incrementale

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

So già che

  • f(x)=k
  • f(x+Δx)=k

Quindi, posso riscrivere il rapporto incrementale in questa forma:

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{k-k}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0}{\Delta x} = 0 $$

Ho così dimostrato che la derivata di una costante è zero.

Un esempio pratico

Data la seguente funzione:

$$ f(x) = 2 $$

Calcolo il limite del rapporto incrementale per Δx tendente a zero.

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

Sapendo che

  • f(x)=2
  • f(x+Δx)=2

Il limite del rapporto incrementale diventa

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2-2}{\Delta x} = 0 $$

Quindi la derivata f'(x) è nulla per qualsiasi valore del dominio della funzione.

il grafico della derivata di una costante

E così via.


 
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