La derivata della funzione f(x)=x
La derivata della funzione identità \( f(x)=x \) è costante e vale \( 1 \) in ogni punto del dominio. \[ D \ x = 1 \]
Questo significa che la funzione cresce sempre con la stessa inclinazione.
Per ogni incremento della variabile (x), anche il valore della funzione aumenta della stessa quantità.
Dimostrazione
Per calcolare la derivata uso la definizione di rapporto incrementale.
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sapendo che la funzione è \( f(x)=x \) e \( f(x+h)=x+h \), sostituisco i valori nella definizione di derivata:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-x}{h} \]
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{x+h-x}{h} \]
Semplifico il numeratore:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{h}{h} \]
Poiché \( \frac{h}{h}=1 \) per ogni \( h \neq 0 \)
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} 1 \]
Il limite di una costante è la costante stessa:
\[ f'(x)=1 \]
Pertanto, la derivata della funzione identità \( f(x) \) è sempre uguale a \( 1 \).
Come volevasi dimostrare.
Interpretazione geometrica
La funzione \( y=x \) è la bisettrice del primo e del terzo quadrante.
La retta forma un angolo di \( 45^\circ \) con l’asse \( x \).
Il coefficiente angolare della retta è
\[ m=\tan 45^\circ =1 \]
Quindi, la tangente al grafico in qualsiasi punto coincide con la retta stessa.
Per questa ragione la derivata è sempre uguale a \( 1 \).
Un esempio pratico
Considero la funzione identità:
\[ f(x) = x \]
Il grafico della funzione è costante. Quindi, se prendo due punti qualsiasi distinti della funzione, ottengo sempre lo stesso coefficiente angolare.
Ad esempio, prendo il punto \( (1,1) \) e il punto \( (3,3) \).
Poi calcolo il coefficiente angolare:
\[ m=\frac{3-1}{3-1}=\frac{2}{2}=1 \]
Ora prendo il punto \( (4,4) \) e il punto \( (5,5) \) e calcolo di nuovo il coefficiente angolare.
\[ m=\frac{5-4}{5-4}=\frac{1}{1}=1 \]
Ottengo sempre lo stesso valore.
Questo conferma che la funzione cresce con velocità costante e che la derivata è identicamente uguale a uno.
E così via.
