Criterio di stretta monotonia
Funzione strettamente crescente
Una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b) è strettamente crescente in [a,b] se la derivata prima f'(x)≥0 per ogni x ∈ [a,b] e la f'(x) non si annulla in nessun intervallo di [a,b]. {∀x∈[a,b]|f′(x)≥0∀(x1,x2)⊂(a,b)|f′(x)≠0
Funzione strettamente decrescente
Una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b) è strettamente decrescente in [a,b] se la derivata prima f'(x)≤0 per ogni x ∈ [a,b] e la f'(x) non si annulla in nessun intervallo di [a,b]. {∀x∈[a,b]|f′(x)≤0∀(x1,x2)⊂(a,b)|f′(x)≠0
La derivata prima della funzione strettamente crescente o decrescente può essere nulla?
La derivata di una funzione strettamente crescente o strettamente decrescente può essere nulla in un singolo punto ( es. f'(x0)=0 ) ma non in un intervallo continuo di punti.
Un esempio pratico
Esempio 1
La funzione f(x)=log x è strettamente crescente nell'intervallo [0,∞] perché la derivata prima f'(x)≥0 e f'(x)≠0 in qualsiasi intervallo.
Esempio 2
La funzione f(x)=x3 è strettamente crescente nell'intervallo [0,∞] perché la derivata prima f'(x)≥0 e f'(x)≠0 in qualsiasi intervallo.
Nota. Nel punto x=0 la derivata prima della funzione è nulla f'(x)=0. La funzione è comunque strettamente crescente perché questo non viola il criterio di stretta monotonia. Secondo il criterio di stretta monotonia, la derivata prima non deve essere nulla in un intervallo.
Dimostrazione
1] A partire da una funzione f(x) con derivata f'(x)≥0 per ogni x∈[a,b] e f'(x)≠0 in ogni intervallo, devo dimostrare che la funzione è strettamente crescente.
{∀x∈[a,b]|f′(x)≥0∀(x1,x2)⊂(a,b)|f′(x)≠0⇒strettamente crescente
Se non fosse strettamente crescente esisterebbero due punti x1<x2 tali che
f(x1)=f(x2)
Nell'intervallo (x1,x2) la funzione sarebbe costante secondo il criterio di monotonia.
Ma questo viola una delle ipotesi iniziali.
∀x∈[x1,x2]|f′(x)=0
Pertanto, le ipotesi iniziali implicano che la funzione sia strettamente crescente.
Nota. I due punti x1 e x2 non devono essere necessariamente contigui. Essendo sicuramente la f(x) una funzione crescente, in ogni punto intermedio dell'intervallo (x1,x2) la funzione è costante, perché non può assumere un valore superiore o inferiore. Se lo facesse non sarebbe più una funzione crescente nell'intervallo (a,b).
2] A partire dall'ipotesi di una funzione strettamente crescente, devo dimostrare che la derivata sia f'(x)≥0 per ogni x∈[a,b] e f'(x)≠0 in qualsiasi intervallo (x1,x2)⊂[a,b]
strettamente crescente⇒{∀x∈[a,b]|f′(x)≥0∀(x1,x2)⊂(a,b)|f′(x)≠0
Se la derivata fosse negativa f'(x)<0 in un qualsiasi punto di [a,b] la funzione non sarebbe né una funzione crescente, né strettamente crescente.
Pertanto, la derivata deve necessariamente essere maggiore o uguale a zero in ogni punto
∀x∈[a,b]|f′(x)≥0
Se la derivata prima fosse nulla f'(x)=0 in un intervallo [x1,x2] la funzione sarebbe costante nell'intervallo perché la funzione è crescente per ipotesi iniziale. E questo violerebbe una condizione di stretta monotonia.
Pertanto, la derivata deve essere necessariamente diversa da zero in ogni intervallo.
∀(x1,x2)⊂(a,b)|f′(x)≠0
E così via.