Derivata sinistra
Data una funzione definita in un intorno sinistro del punto x0, la funzione f(x) è derivabile da sinistra in x0 se esiste ed è finito il limite sinistro del rapporto incrementale tra x0 e x per x tendente a x0. $$ f'_-(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$ poiché Δx=x-x0 si può scrivere anche $$ f'_-(x_0) = \lim_{Δx \rightarrow 0^-} \frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx} $$ detta derivata sinistra di f(x)
In questo caso prendo in considerazione soltanto l'intorno sinistro del punto x0.
Nel calcolo della derivata destra la differenza Δx=x-x0 è sempre negativa.
$$ x - x_0 < 0 $$
Quindi
$$ Δx<0 $$
Nota. La notazione cambia a seconda degli autori. A volte il punto x è sostituito da x0-δ. Il concetto è comunqe sempre lo stesso. Si tratta di un punto a sinistra di x0 che converge a x0.
L'intorno a destra del punto x0 non si considera.
Un esempio pratico
Verifico se esiste la derivata sinistra della funzione f(x)=|x| nel punto x0=2.
$$ f(x) = 2 $$
Calcolo il limite nell'intorno sinistro del punto x0
$$ f'_-(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
poiché x0=2
$$ f'_-(2) = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} $$
$$ f'_-(2) = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{|x|-|2|}{x-2} $$
$$ f'_-(2) = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{x-2}{x-2} = +1 $$
In questo caso la x del limite tende al valore 2- da sinistra senza mai raggiungerlo ( es. 1.999999 ).
$$ f'_-(2) = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{x-2}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{1.99999-2}{1.99999-2} $$
Quindi, la differenza x-2 è sempre negativa sia al numeratore che al denominatore.
$$ f'_-(2) = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{1.99999-2}{1.99999-2} = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{-0.000001}{-0.000001} $$
Pertanto, il quoziente è sempre positivo.
I valori al numeratore e al denominatore del rapporto sono uguali e si può semplificare con +1.
$$ f'_-(2) = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{-0.000001}{-0.000001} = \lim_{x \rightarrow 2^-} 1 = +1 $$
In conclusione, la derivata sinistra della funzione f(x) nel punto x0=2 è +1.
$$ f'_-(2) = +1 $$
Nota. Posso ottenere lo stesso risultato anche usando l'altra forma del limite sinistro. $$ f'_-(x_0) = \lim_{Δx \rightarrow 0^-} \frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx} $$ $$ f'_-(2) = \lim_{Δx \rightarrow 0^-} \frac{f(2+Δx)-f(2)}{Δx} $$ $$ f'_-(2) = \lim_{Δx \rightarrow 0^-} \frac{|2+Δx|-|2|}{Δx} $$ Nel limite di sinistra il valore Δx=x-x0 è sempre negativo Δx<0. Quindi, posso riscrivere la formula in $$ f'_-(2) = \lim_{Δx \rightarrow 0^-} \frac{|2-Δx|-|2|}{-Δx} $$ La differenza al numeratore |2-Δx|-|2| è sempre negativa. Quindi, anche in questo caso sia il numeratore che il denominatore sono numeri negativi. Pertanto il quoziente è positivo. $$ f'_-(2) = \lim_{Δx \rightarrow 0^-} \frac{-Δx}{-Δx} =\lim_{Δx \rightarrow 0^-} 1 = +1 $$ Il risultato è sempre lo stesso.
E così via.