Derivata di una funzione elevata a funzione
La derivata di una funzione della forma $$ y=[f(x)]^{g(x)} $$ si calcola trasformando prima la potenza in un prodotto tramite il logaritmo naturale. $$ D\left([f(x)]^{g(x)}\right)=[f(x)]^{g(x)}\left[g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right] $$ con \(f(x)>0\) nell'intervallo considerato e con \(f(x)\) e \(g(x)\) derivabili.
In generale, la derivata di \([f(x)]^{g(x)}\) si calcola usando la derivazione logaritmica.
Il logaritmo mi permette di trasformare una potenza con base ed esponente variabili in un prodotto:
$$ \ln y=g(x)\ln f(x) $$
A quel punto, per calcolare la derivata mi basta applicare due regole già note: la derivata del logaritmo naturale $ D(\ln y)=\frac{1}{y}y' $ e la derivata del prodotto.
In questo modo una funzione apparentemente complessa viene ricondotta a regole elementari di derivazione.
Un esempio pratico
Calcolo la derivata della funzione
$$ y=x^x $$
In questo caso $ f(x)=x $ e $ g(x)=x $
Quindi, le derivate sono $ f'(x)=1 $ e $ g'(x)=1 $
Applico la formula:
$$ D(x^x) = x^x \left[ 1\cdot \ln x+\frac{x\cdot 1}{x} \right] $$
Semplifico e ottengo la derivata della funzione
$$ D(x^x) = x^x(\ln x+1) $$
La formula vale per \(x>0\), perché il logaritmo naturale \(\ln x\) è definito solo per valori positivi di \(x\).
Esempio 2
Calcolo la derivata della funzione
$$ y=(x^2+1)^x $$
Questa funzione è della forma $ y=[f(x)]^{g(x)} $ dove
$$ f(x)=x^2+1 $$
$$ g(x)=x $$
La derivata di \(f(x)\) è
$$ f'(x)=2x $$
La derivata di \(g(x)\) è
$$ g'(x)=1 $$
Applico la formula di derivazione della funzione elevata a funzione
$$D\left([f(x)]^{g(x)}\right) =[f(x)]^{g(x)}\left[g'(x)\ln[f(x)] +\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right]$$
Sostituisco le funzioni trovate:
$$ y' = (x^2+1)^x \left[ 1\cdot\ln(x^2+1) + \frac{x\cdot 2x}{x^2+1} \right] $$
Semplifico e ottengo la derivata finale:
$$ y' = (x^2+1)^x \left[ \ln(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1} \right] $$
In questo esempio la base \(x^2+1\) è sempre positiva. Pertanto il logaritmo \(\ln(x^2+1)\) è sempre definito e la formula può essere applicata per qualsiasi valore reale di \(x\).
La dimostrazione
La funzione ha sia la base sia l’esponente variabili.
$$ y=[f(x)]^{g(x)} $$
Quindi, non posso applicare direttamente solo la regola della potenza, perché quella vale quando l’esponente è costante.
Poiché \(f(x)>0\), anche \(y>0\). Posso allora calcolare il logaritmo naturale di entrambi i membri:
$$ \ln y=\ln\left([f(x)]^{g(x)}\right) $$
Uso la proprietà del logaritmo di una potenza $ \ln(a^b)=b\ln a $ e ottengo
$$ \ln y=g(x)\ln f(x) $$
Ora derivo entrambi i membri rispetto a \(x\).
$$ D[ \ln y ]= D[ g(x)\ln f(x) ] $$
A sinistra ho una funzione composta:
$$ D[ \ln y ]=\frac{1}{y}y' $$
A destra ho il prodotto tra due funzioni:
$$ D[ g(x)\ln f(x) ] =g'(x)\ln f(x)+g(x) ( \ln f(x) )' $$
$$ D[ g(x)\ln f(x) ] =g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{1}{f(x)} f'(x) $$
Quindi
$$ D[ \ln y ]= D[ g(x)\ln f(x) ] $$
$$ \frac{1}{y}y' = g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{1}{f(x)} f'(x) $$
$$ \frac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} $$
Moltiplico entrambi i membri per \(y\):
$$ y \cdot \frac{y'}{y} = y \cdot \left[ g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} \right] $$
$$ y' = y \left[ g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)} \right] $$
Sapendo che $ y=[f(x)]^{g(x)} $ ottengo la formula finale:
$$ y' = [f(x)]^{g(x)} \left[ g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)} \right] $$
Come volevasi dimostrare.
Il caso dell’esponente costante
Quando l'esponente è una costante, la formula generale per la derivata di una funzione elevata a funzione si semplifica nella nota regola di derivazione di una potenza di funzione: $$ D[f(x)]^a = a[f(x)]^{a-1}f'(x) $$
Esempio
Calcolo la derivata della funzione
$$ y=(x^2+1)^3 $$
Questa funzione è della forma $ y=[f(x)]^a $ con esponente costante, dove $ f(x)=x^2+1 $ e $ a=3 $.
Quando l'esponente è costante si usa la regola
$$ D[f(x)]^a = a[f(x)]^{a-1}f'(x) $$
Sostituisco i valori:
$$ y' = 3(x^2+1)^{3-1} f'(x) $$
$$ y' = 3(x^2+1)^2f'(x) $$
Sapendo che la derivata di \(f(x)\) è $ f'(x)=2x $
$$ y' = 3(x^2+1)^2(2x) $$
$$ y' = 6x(x^2+1)^2 $$
Il risultato finale è la derivata della funzione.
Dimostrazione
Se l’esponente è costante \(a\in \mathbb{R}\), cioè
$$ g(x)=a $$
allora la derivata è nulla
$$ g'(x)=0 $$
Quindi, la formula generale diventa
$$ D\left([f(x)]^{g(x)}\right)=[f(x)]^{g(x)}\left[g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right] $$
$$ D[f(x)]^a = [f(x)]^a \left[ 0\cdot \ln f(x)+\frac{a f'(x)}{f(x)} \right] $$
$$ D[f(x)]^a = [f(x)]^a\frac{a f'(x)}{f(x)} $$
$$ D[f(x)]^a = a\frac{[f(x)]^a f'(x)}{f(x)} $$
$$ D[f(x)]^a = a\frac{[f(x)]^a}{f(x)}f'(x) $$
Sapendo $ \frac{ [f(x)]^a }{ f(x) } = [f(x)]^{a-1} $ ottengo:
$$ D[f(x)]^a = a[f(x)]^{a-1}f'(x) $$
Questa è la regola della derivata di una potenza di funzione composta.
Nota. Se $ f(x)=x $ allora $ f'(x)=1 $ e si ottiene la formula nota $ D(x^a)=a x^{a-1} $ con \(x>0\) se \(a\) è un numero reale qualsiasi.
E così via.
