Derivata di un versore

Cos'è la derivata di un versore

La derivata di un versore (u) è un vettore (v) perpendicolare al versore stesso. $$ \frac{d \vec{u}}{dt} = \vec{v} \ \ \ con \ \ \ \vec{v} \perp \vec{u} $$

Dato un qualsiasi versore u, la sua derivata è un vettore ortogonale al versore stesso, ossia un vettore che forma un angolo di 90° rispetto al versore u.

la derivata del versore

La derivata del versore si trova sulla direzione normale rispetto al versore, in un verso o nell'altro.

la derivata del versore si trova sulla normale in un verso o nel verso opposto

Nota. Nella dimostrazione che segue spiego tutti i passaggi di calcolo che spiegano questa affermazione. Per capirla è necessario conoscere il prodotto scalare tra due vettori.

    Dimostrazione

    Considero un versore qualsiasi

    $$ \vec{u} $$

    Un versore è un vettore con lunghezza unitaria ossia con modulo pari a 1.

    un esempio di versore

    Nota. Un versore può avere qualsiasi direzione o verso. In questa dimostrazione utilizzo la direzione parallela alle ascisse per mettere meglio in evidenza gli angoli.

    Calcolo il prodotto scalare del versore per se stesso.

    $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |u| \cdot |u| \cdot \cos \alpha $$

    Dove |u| è il modulo del versore e alfa è l'angolo formato dai due vettori del prodotto scalare.

    In questo caso il prodotto scalare è tra due vettori che hanno la stessa direzione, il versore u per se stesso.

    Quindi l'angolo alfa è zero.

    $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |u| \cdot |u| \cdot \cos 0 $$

    Il coseno di zero è cos(0)=1 pari a uno.

    $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |u| \cdot |u| \cdot 1 $$

    $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |u| \cdot |u| $$

    Un versore è un vettore con modulo unitario.

    Pertanto, il modulo di u è pari a uno, ossia |u|=1.

    $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = |u| \cdot |u| $$

    $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 1 $$

    Quindi, il prodotto scalare del versore per se stesso è pari a uno.

    $$ \vec{u} \cdot \vec{u} = 1 $$

    A questo punto calcolo la derivata del prodotto scalare del versore per se stesso rispetto al tempo.

    $$ \frac{d (\vec{u} \cdot \vec{u}) }{dt} $$

    Sapendo che il prodotto scalare è 1, l'operazione si riduce alla derivata di una costante che notoriamente è pari a zero.

    $$ \frac{d (\vec{u} \cdot \vec{u}) }{dt} = \frac{d (1) }{dt} = 0 $$

    D'altra parte posso anche calcolare la derivata del prodotto scalare tramite la regola della derivata di un prodotto.

    $$ \frac{d (\vec{u} \cdot \vec{u}) }{dt} = \frac{d \vec{u} }{dt} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \frac{d \vec{u}}{dt}
    $$

    Questa derivata è equivalente alla precedente d(1)/dt=0, quindi ha lo stesso risultato, ossia è pari a zero.

    $$ \frac{d \vec{u} }{dt} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \frac{d \vec{u}}{dt} = 0 $$

    La somma è tra due termini uguali, quindi posso anche scrivere.

    $$ 2 (\frac{d \vec{u} }{dt} \cdot \vec{u} ) = 0 $$

    Il primo fattore è un numero positivo (2) mentre il secondo è un'incognita.

    Sapendo che il risultato è zero, il secondo fattore deve essere necessariamente pari a zero.

    $$ \frac{d \vec{u} }{dt} \cdot \vec{u} = 0 $$

    Ne consegue che il prodotto scalare tra la derivata del versore e il versore stesso è nullo.

    Il prodotto scalare è nullo quando i vettori sono vettori ortogonali ossia formano un angolo di 90°.

    Pertanto, la derivata del versore du/dt è un vettore ortogonale al versore stesso.

    $$ \frac{d \vec{u} }{dt} \perp \vec{u} $$

    Questo vuol dire che la derivata del versore si trova sulla direzione normale rispetto al versore.

    la direzione normale del versore

    Può trovarsi sia sulla normale esterna che sulla normale interna.

    il verso della derivata del versore

    E così via.


     
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