Teorema della continuitÓ delle funzioni derivabili

Una funzione f(x) derivabile in x è anche una funzione continua in x. $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x)=f(x) $$ o equivalentemente $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h)=f(x) $$

Non è detto però il contrario.

Una funzione continua in x non è detto che sia anche una funzione derivabile in x.

Dimostrazione

Se la funzione è derivabile in x allora esiste il limite del rapporto incrementale per h→0.

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Per essere anche una funzione continua, la funzione f(x) deve rispettare questa condizione

$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$

ossia

$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) - f(x) = 0 $$

Nota. La condizione di continuità di una funzione è la seguente: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) $$ $$ \lim_{x+h \rightarrow x} f(x+h) = f(x) \:\:\:\: con \:\: x=x+h \:\: e \:\: x_0=x $$ $$ \lim_{h \rightarrow x-x} f(x+h) = f(x) $$ $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$

Riscrivo l'espressione f(x-h)-f(x) in una forma algebrica equivalente.

Moltiplico e divido per h.

$$ f(x+h)-f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$

Questa identità è logicamente vera. Il membro di sinistra è uguale al membro di destra.

A questo punto calcolo il limite su entrambi i membri dell'equazione .

$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) - f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$

Per l'algebra dei limiti posso suddividere il limite sulle singole componenti al membro di destra.

$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) -f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} h $$

L'ultimo limite è nullo e annulla anche il penultimo fattore.

$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) -f(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot 0 $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) -f(x)= 0 $$

Se il membro di destra è uguale a 0 allora anche il membro di sinistra dell'identità deve essere uguale a 0

Ho così dimostrato la continuità della funzione derivabile.

$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) - f(x) = 0 $$

Perché una funzione continua non è detto che sia derivabile

Basta considerare come controesempio la funzione del valore assoluto

$$ f(x)=|x| $$

E' una funzione continua in x=0 ma non è derivabile in x perché il limite sinistro e il limite destro sono diversi.

$$ \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{h}{-h} = -1 $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{h}{h} = +1 $$

Pertanto, in questo caso la funzione è continua in x=0 ma non è derivabile in x=0.

La continuità non è una condizione sufficiente per la derivabilità.

 


 

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