Teorema della continuità delle funzioni derivabili
Una funzione f(x) derivabile in x è anche una funzione continua in x. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=f(x_0) $$ o equivalentemente $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h)=f(x) $$
Non è detto però il contrario. Una funzione continua in x non è detto che sia anche una funzione derivabile in x.
In altre parole, l'insieme delle funzioni derivabili è un sottoinsieme delle funzioni continue.
Quindi, la continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità.
Dimostrazione
Se la funzione è derivabile in x allora esiste il limite del rapporto incrementale per h→0.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Per essere anche una funzione continua, la funzione f(x) deve rispettare questa condizione
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$
ossia
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) - f(x) = 0 $$
Nota. La condizione di continuità di una funzione è la seguente: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) $$ $$ \lim_{x+h \rightarrow x} f(x+h) = f(x) \:\:\:\: con \:\: x=x+h \:\: e \:\: x_0=x $$ $$ \lim_{h \rightarrow x-x} f(x+h) = f(x) $$ $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$
Riscrivo l'espressione f(x-h)-f(x) in una forma algebrica equivalente.
Moltiplico e divido per h.
$$ f(x+h)-f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$
Questa identità è logicamente vera. Il membro di sinistra è uguale al membro di destra.
A questo punto calcolo il limite su entrambi i membri dell'equazione .
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) - f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$
Per l'algebra dei limiti posso suddividere il limite sulle singole componenti al membro di destra.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) -f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} h $$
L'ultimo limite è nullo e annulla anche il penultimo fattore.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) -f(x)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot 0 $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) -f(x)= 0 $$
Se il membro di destra è uguale a 0 allora anche il membro di sinistra dell'identità deve essere uguale a 0
Ho così dimostrato la continuità della funzione derivabile.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) - f(x) = 0 $$
Dimostrazione alternativa
L'ipotesi iniziale della dimostrazione è che \( f(x) \) è derivabile nel punto \( x_0 \).
In altre parole, si assume che esista la derivata nel punto \( x_0 \), cioè:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0) \]
La tesi da dimostrare è invece che \( f(x) \) è continua nel punto \( x_0 \), ossia:
\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \]
Per dimostrare la continuità devo studiare il comportamento della funzione quando \( x \) si avvicina a \( x_0 \).
\[ f(x_0+h) \]
Riscrivo \( f(x_0+h) \) in una forma equivalente che contenga il rapporto incrementale, perché dall’ipotesi iniziale conosco il limite del rapporto incrementale.
\[ f(x_0+h) = \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{h} \cdot h + f(x_0) \]
Nota. Si tratta di una identità perché, una volta semplificato, il secondo membro dell'equazione è uguale al primo. \[ \require{cancel} f(x_0+h) = \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{ \cancel{h} } \cdot \cancel{h} + f(x_0) \] \[ f(x_0+h) = f(x_0+h) - \cancel{ f(x_0) } + \cancel{ f(x_0) } \] \[ f(x_0+h) = f(x_0+h) \]
Calcolo il limite per $ h \to 0 $ in entrambi i membri dell'equazione:
\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = \lim_{h \to 0} [ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{h} \cdot h + f(x_0) ] \]
Poiché il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti, riscrivo l'equazione in questo modo
\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = \lim_{h \to 0} [ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{h} \cdot h ] + \lim_{h \to 0} f(x_0) \]
Il limite di una costante è la costante stessa, quindi $ \lim_{h \to 0} f(x_0) = f(x_0) $
\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = \lim_{h \to 0} [ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{h} \cdot h ] + f(x_0) \]
Sapendo che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti, purché esistano entrambi i limiti.
\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) + \lim_{h \to 0} [ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{h} ] \cdot \lim_{h \to 0} h \]
Nel secondo membro dell'equazione, il primo limite è la derivata della funzione nel punto \( x_0 \), cioè $ f'(x_0) $.
\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) + \underbrace{ \lim_{h \to 0} [ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0) }{h} ]}_{f'(x_0)} \cdot \lim_{h \to 0} h \]
\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot \lim_{h \to 0} h \]
Poiché $ \lim_{h \to 0} h = 0 $
\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0) \cdot 0 \]
\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) \]
Posto $ x_0 + h = x $, riscrivo $ h \to 0 $ come $ x \to x_0 $
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]
Questo vuol dire che la funzione è continua in \( x_0 \).
Pertanto la scrittura \( \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) \) è equivalente a \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \).
In conclusione, ogni funzione derivabile in un punto è anche continua in quel punto.
Perché una funzione continua non è detto che sia derivabile
Basta considerare come controesempio la funzione del valore assoluto
$$ f(x)=|x| $$
E' una funzione continua in x=0 ma non è derivabile in x perché il limite sinistro e il limite destro sono diversi.
$$ \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{h}{-h} = -1 $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{h}{h} = +1 $$
Pertanto, in questo caso la funzione è continua in x=0 ma non è derivabile in x=0.
La continuità non è una condizione sufficiente per la derivabilità.
