Differenziale di una funzione
Il differenziale $ dy $ di una funzione derivabile $ y=f(x) $ è una quantità che approssima la variazione della funzione quando la variabile indipendente $ x $ subisce una piccola variazione. $$ dy = f'(x) \cdot dx $$ Dove $ dx $ è la variazione infinitesimale (ossia una piccola variazione) della variabile x. Mentre $ f'(x) $ è la derivata prima della funzione.
Da quest'ultima espressione si ricava la derivata prima della funzione come rapporto fra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente.
$$ f'(x) = \frac{dy}{dx} $$
Qual è la differenza tra differenziale e incremento della funzione?
Il differenziale è strettamente legato alla derivata $ f'(x) $ e fornisce una stima della variazione della funzione in prossimità di un punto $ x $.
$$ dy = f'(x) \cdot dx $$
La variazione effettiva della funzione è invece
$$ \Delta y = f(x+\Delta x)-f(x) $$
Dal punto di vista geometrico, in un intorno di un punto \( x_0 \), la funzione può essere approssimata dalla sua retta tangente. Il differenziale rappresenta la variazione prevista da questa approssimazione lineare.
Quando la variazione della variabile indipendente è molto piccola, il differenziale approssima la variazione effettiva della funzione: $ \Delta y \approx dy $
Un esempio pratico
Considero la funzione
$$ y = x^2 $$
Il differenziale della funzione y=x2 è
$$ dy = y' \cdot dx $$
La derivata prima della funzione è $ y' = \frac{d}{dx}(x^2)=2x $. Sostituendo nella formula del differenziale ottengo:
$$ dy = 2x \cdot dx $$
Questa espressione fornisce un'approssimazione della variazione della funzione per una piccola variazione dx della variabile indipendente x.
Ad esempio, nel punto $ x=3 $ e per una variazione $ dx=\Delta x=0,1 $ il differenziale vale
$$ dy=2 \cdot 3 \cdot 0,1=0,6. $$
Calcolo ora l'incremento effettivo della funzione:
$$ \Delta y=f(3+0,1)-f(3) $$
$$ \Delta y=(3,1)^2-3^2 $$
$$ \Delta y=9,61-9 $$
$$ \Delta y=0,61. $$
In questo caso $ dy=0,6 $ mentre $ \Delta y=0,61 $.
I due valori non coincidono esattamente, ma sono molto vicini. Questo accade perché il differenziale è un'approssimazione lineare dell'incremento della funzione.
Se la variazione della variabile indipendente diventa sempre più piccola, il differenziale fornisce una stima sempre più accurata dell'incremento effettivo: $ \Delta y \approx dy. $
Il significato di dx
Per comprendere meglio la definizione di differenziale, considero la funzione più semplice di tutte:
$$ y=x $$
La sua derivata è
$$ y'=1 $$
Applicando la formula del differenziale ottengo
$$ dy=y' \cdot dx = 1 \cdot dx $$
Poiché in questo caso \( y=x \), risulta
$$ dy=dx $$
Se indico con \( \Delta x \) la variazione della variabile indipendente, posso identificare
$$ dx=\Delta x $$
Per convenzione, il differenziale della variabile indipendente coincide con il suo incremento.
Per questo motivo il differenziale di una funzione può essere scritto anche come
$$ dy=f'(x) \cdot \Delta x $$
Questa relazione mostra che il differenziale è il prodotto della derivata della funzione per la variazione della variabile indipendente.
Occorre tuttavia distinguere il differenziale dalla variazione effettiva della funzione.
Infatti $ \Delta y $ è la variazione effettiva della funzione.
$$ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) $$
Il differenziale $ dy $ è invece un'approssimazione della variazione della funzione in un intorno del punto $ x $.
$$ dy=f'(x) \cdot \Delta x $$
Quando \( \Delta x \) è molto piccolo, il differenziale $ dy $ fornisce una buona approssimazione della variazione reale:
$$ \Delta y \approx dy $$
Il differenziale e la retta tangente
Il significato geometrico del differenziale è strettamente legato alla retta tangente alla curva in un punto.
Sia (y=f(x)) una funzione derivabile e sia (x_0) un punto del suo dominio. In (x_0), la retta tangente alla curva ha equazione
$$ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) $$
Questa retta fornisce una buona approssimazione della funzione in prossimità del punto di tangenza. Se la variabile indipendente varia di una quantità
$$ dx=x-x_0 $$
la variazione prevista dalla retta tangente è
$$ dy=f'(x_0) \ dx $$
Questa quantità coincide con il differenziale della funzione.
Dal punto di vista geometrico, quindi, il differenziale rappresenta la variazione della funzione stimata mediante la sua approssimazione lineare. Quanto più il punto considerato è vicino a \( x_0 \), tanto più il differenziale approssima accuratamente l'incremento effettivo della funzione.
E così via.
