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Le derivate elementari

Conoscere le derivate elementari è il primo passo per affrontare problemi più complessi.

f(x) f(x)
c 0
x 1
xn nxn1
1x=x1 1x2
nx=x1n 1xnxn1
ex ex
ln(x) 1x
logb(x) 1xlogbe
sin(x) cos(x)
cos(x) sin(x)
tan(x) 1cos2(x)=1+tan2x
cot(x) 1sin2(x)=1cot2x
arcsin(x) 11x2
sec(x) sec(x)tan(x)
arccos(x) 11x2
arctan(x) 11+x2
ax axlna   (a>0)
xx xx(1+logx)
ef(x) ef(x)f(x)
f(x)α αf(x)α1f(x)
f(g(x)) f(g(x))g(x)

ddx=f(g(x))g(x)

Vediamo quali sono le derivate delle funzioni elementari con esempi pratici per facilitare la comprensione.

Derivate di funzioni costanti

Inizio con la funzione più semplice: una costante. La derivata di una funzione costante è sempre zero. Questo perché una costante non cambia, quindi la sua variazione rispetto a qualsiasi variabile è nulla.

ddxc=0

Esempio pratico. Considero una linea retta orizzontale rappresentata dalla funzione f(x)=5. La sua derivata è zero perché, indipendentemente dal valore di x, la funzione non cambia. f(x)=d 5dx=0

Derivata della funzione identità

La funzione identità è quella in cui la variabile x è elevata alla prima potenza. La sua derivata è sempre uguale a 1.

ddxx=1

Esempio pratico. Prendo come esempio la funzione f(x)=5x. In questo caso si tratta della derivata di un prodotto tra una costante (5) e la funzione x1. f(x)=d 5xdx Per la regola della derivata del prodotto, la costante può uscire dall'operazione derivazione. f(x)=5d xdx Per risolvere la derivata di x1 applico la regola di derivazione delle potenze nxn1 f(x)=5[1x11]=5[1x0]=5[11]=5 Quindi, la derivata prima di f(x)=5x è f'(x)=5.

Derivata della funzione potenza

Per una funzione di potenza generale, utilizzo la regola della potenza:

ddxxn=nxn1

Esempio pratico. Se considero la funzione f(x)=x3, allora la sua derivata prima è f(x)=3x2. f(x)=3x31=3x2

Derivata delle funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche hanno derivate specifiche:

Derivata delle funzioni esponenziali e logaritmiche

Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono altrettanto fondamentali:

Derivata della funzione composta

Per funzioni composte, si applica la regola della catena di derivate.

ddxf(g(x))=f(g(x))g(x)

Quando si inizia ad esercitarsi con le derivate un errore frequente consiste nel dimenticarsi che molte funzioni sono composte.

Ad esempio, la funzione e2x è composta da una funzione esponenziale f=eg  e da una funzione lineare g=2x.

Esempio pratico. Un esempio di funzione composta è la funzione esponenziale. Se f(x)=e2x, allora la derivata è f(x)=2e2x, poiché g(x)=2x e g(x)=2.

Questa regola è anche detta regola della catena e si  può applicare anche se ci sono tre o più funzioni come in f(g(h(x))).

Il principio è sempre lo stesso, si applica "a catena" una derivata dopo l'altra, dall'esterno verso l'interno.

ddxf[g(h(x))]=f[g(h(x))]g(h(x))h(x)

Conoscere a memoria le derivate elementari è il primo passo per diventare esperti nel calcolo differenziale, il passo successivo è esercitarsi con la pratica per imparare ad applicarle correttamente.

E così via.


 

 


 

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