Le derivate elementari

Conoscere le derivate elementari è il primo passo per affrontare problemi più complessi.

\( f(x) \) \( f'(x) \)
\( c \) \( 0 \)
\( x \) \( 1 \)
\( x^n \) \( n \cdot x^{n-1} \)
\( \frac{1}{x} = x^{-1} \) \( - \frac{1}{x^2} \)
\( \sqrt[n]{x} = x^{ \frac{1}{n} } \) \( \frac{1}{x \sqrt[n]{x^{n-1}}} \)
\( e^x \) \( e^x \)
\( \ln(x) \) \( \frac{1}{x} \)
\( \log_b(x) \) \( \frac{1}{ x} \log_b e \)
\( \sin(x) \) \( \cos(x) \)
\( \cos(x) \) \( -\sin(x) \)
\( \tan(x) \) \( \frac{1}{ \cos^2(x) } = 1+ \tan^2 x \)
\( \cot(x) \) \( - \frac{1}{ \sin^2(x) } = -1 -\cot^2 x \)
\( \arcsin(x) \) \( \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \)
\( \arccos(x) \) \( - \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \)
\( \arctan(x) \) \( \frac{1}{ 1+x^2 } \)
\( a^x \) \( a^x \ln a \ \ \ (a>0) \)
\( x^x \) \( x^x (1+ \log x) \)
\( e^{f(x)} \) \( e^{f(x) } \cdot f'(x) \)
\( f(x)^{\alpha} \) \( \alpha f(x)^{ \alpha -1 } f'(x) \)

Vediamo quali sono le derivate delle funzioni elementari con esempi pratici per facilitare la comprensione.

Derivate di funzioni costanti

Inizio con la funzione più semplice: una costante. La derivata di una funzione costante è sempre zero. Questo perché una costante non cambia, quindi la sua variazione rispetto a qualsiasi variabile è nulla.

$$ \frac{d}{dx} c = 0 $$

Esempio pratico. Considero una linea retta orizzontale rappresentata dalla funzione \( f(x) = 5 \). La sua derivata è zero perché, indipendentemente dal valore di \( x \), la funzione non cambia. $$ f'(x)= \frac{d \ 5}{dx}  = 0 $$

Derivata della funzione identità

La funzione identità è quella in cui la variabile \( x \) è elevata alla prima potenza. La sua derivata è sempre uguale a 1.

$$ \frac{d}{dx} x = 1 $$

Esempio pratico. Prendo come esempio la funzione \( f(x) = 5x \). In questo caso si tratta della derivata di un prodotto tra una costante (5) e la funzione x1. $$ f'(x) = \frac{d \ 5x}{dx}  $$ Per la regola della derivata del prodotto, la costante può uscire dall'operazione derivazione. $$ f'(x) = 5 \cdot \frac{d \ x}{dx}  $$ Per risolvere la derivata di x1 applico la regola di derivazione delle potenze \( n \cdot x^{n-1} \) $$ f'(x) = 5 \cdot [ 1 \cdot x^{1-1} ] = 5 \cdot [ 1 \cdot x^0 ] = 5 \cdot [ 1 \cdot 1 ] = 5 $$ Quindi, la derivata prima di f(x)=5x è f'(x)=5.

Derivata della funzione potenza

Per una funzione di potenza generale, utilizzo la regola della potenza:

$$ \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1} $$

Esempio pratico. Se considero la funzione \( f(x) = x^3 \), allora la sua derivata prima è \( f'(x) = 3x^2 \). $$ f'(x) = 3 \cdot  x^{3-1} = 3 x^2  $$

Derivata delle funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche hanno derivate specifiche:

Derivata delle funzioni esponenziali e logaritmiche

Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono altrettanto fondamentali:

Derivata della funzione composta

Per funzioni composte, si applica la regola della catena di derivate.

$$ f(g(x)) \rightarrow f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

Quando si inizia ad esercitarsi con le derivate un errore frequente consiste nel dimenticarsi che molte funzioni sono composte.

Ad esempio, la funzione $ e^{2x} $ è composta da una funzione esponenziale $ f=e^g  $  e da una funzione lineare $ g =2x $.

Esempio pratico. Un esempio di funzione composta è la funzione esponenziale. Se \( f(x) = e^{2x} \), allora la derivata è \( f'(x) = 2e^{2x} \), poiché \( g(x) = 2x \) e \( g'(x) = 2 \).

Conoscere a memoria le derivate elementari è il primo passo per diventare esperti nel calcolo differenziale, il passo successivo è esercitarsi con la pratica per imparare ad applicarle correttamente.

E così via.


 

 


 

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