Le derivate elementari
Conoscere le derivate elementari è il primo passo per affrontare problemi più complessi.
f(x) | f′(x) |
---|---|
c | 0 |
x | 1 |
xn | n⋅xn−1 |
1x=x−1 | −1x2 |
n√x=x1n | 1xn√xn−1 |
ex | ex |
ln(x) | 1x |
logb(x) | 1xlogbe |
sin(x) | cos(x) |
cos(x) | −sin(x) |
tan(x) | 1cos2(x)=1+tan2x |
cot(x) | −1sin2(x)=−1−cot2x |
arcsin(x) | 1√1−x2 |
sec(x) | sec(x)⋅tan(x) |
arccos(x) | −1√1−x2 |
arctan(x) | 11+x2 |
ax | axlna (a>0) |
xx | xx(1+logx) |
ef(x) | ef(x)⋅f′(x) |
f(x)α | αf(x)α−1f′(x) |
f(g(x)) | f′(g(x))⋅g′(x) |
ddx=f′(g(x))⋅g′(x)
Vediamo quali sono le derivate delle funzioni elementari con esempi pratici per facilitare la comprensione.
Derivate di funzioni costanti
Inizio con la funzione più semplice: una costante. La derivata di una funzione costante è sempre zero. Questo perché una costante non cambia, quindi la sua variazione rispetto a qualsiasi variabile è nulla.
ddxc=0
Esempio pratico. Considero una linea retta orizzontale rappresentata dalla funzione f(x)=5. La sua derivata è zero perché, indipendentemente dal valore di x, la funzione non cambia. f′(x)=d 5dx=0
Derivata della funzione identità
La funzione identità è quella in cui la variabile x è elevata alla prima potenza. La sua derivata è sempre uguale a 1.
ddxx=1
Esempio pratico. Prendo come esempio la funzione f(x)=5x. In questo caso si tratta della derivata di un prodotto tra una costante (5) e la funzione x1. f′(x)=d 5xdx Per la regola della derivata del prodotto, la costante può uscire dall'operazione derivazione. f′(x)=5⋅d xdx Per risolvere la derivata di x1 applico la regola di derivazione delle potenze n⋅xn−1 f′(x)=5⋅[1⋅x1−1]=5⋅[1⋅x0]=5⋅[1⋅1]=5 Quindi, la derivata prima di f(x)=5x è f'(x)=5.
Derivata della funzione potenza
Per una funzione di potenza generale, utilizzo la regola della potenza:
ddxxn=n⋅xn−1
Esempio pratico. Se considero la funzione f(x)=x3, allora la sua derivata prima è f′(x)=3x2. f′(x)=3⋅x3−1=3x2
Derivata delle funzioni trigonometriche
Le funzioni trigonometriche hanno derivate specifiche:
- Derivata del seno ddxsin(x)=cos(x)
- Derivata del coseno ddxcos(x)=−sin(x)
- Derivata della tangente ddxtan(x)=1cos2(x)=1+tan2x=sec2(x)
- Derivata della cotangente ddxcot(x)=−1sin2(x)=−(1+cot2(x))
- Derivata della secante ddxsec x=sin(x)cos2(x)=sec(x)⋅tan(x)
- Derivata della cosecante ddxcsc(x)=−cos(x)sin2(x)=−csc(x)⋅cot(x)
- Derivata dell'arcoseno ddxarcsin(x)=1√1−x2
- Derivata dell'arcocoseno ddxarccos(x)=−1√1−x2
- Derivata dell'arcotangente ddxarctan(x)=11+x2
Derivata delle funzioni esponenziali e logaritmiche
Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono altrettanto fondamentali:
- Derivata della funzione esponenziale ddxex=ex ddxax=ax⋅loga
- Derivata del logaritmo ddxlogb(x)=1xlogbe
Derivata della funzione composta
Per funzioni composte, si applica la regola della catena di derivate.
ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)
Quando si inizia ad esercitarsi con le derivate un errore frequente consiste nel dimenticarsi che molte funzioni sono composte.
Ad esempio, la funzione e2x è composta da una funzione esponenziale f=eg e da una funzione lineare g=2x.
Esempio pratico. Un esempio di funzione composta è la funzione esponenziale. Se f(x)=e2x, allora la derivata è f′(x)=2e2x, poiché g(x)=2x e g′(x)=2.
Questa regola è anche detta regola della catena e si può applicare anche se ci sono tre o più funzioni come in f(g(h(x))).
Il principio è sempre lo stesso, si applica "a catena" una derivata dopo l'altra, dall'esterno verso l'interno.
ddxf[g(h(x))]=f′[g(h(x))]⋅g′(h(x))⋅h′(x)
Conoscere a memoria le derivate elementari è il primo passo per diventare esperti nel calcolo differenziale, il passo successivo è esercitarsi con la pratica per imparare ad applicarle correttamente.
E così via.