Le derivate elementari

Conoscere le derivate elementari è il primo passo per affrontare problemi più complessi.

$f(x)$	$f'(x)$
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$
$\frac{1}{x} = x^{-1}$	$- \frac{1}{x^2}$
$\sqrt[n]{x} = x^{ \frac{1}{n} }$	$\frac{1}{x \sqrt[n]{x^{n-1}}}$
$e^x$	$e^x$
$\ln(x)$	$\frac{1}{x}$
$\log_b(x)$	$\frac{1}{ x} \log_b e$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\frac{1}{ \cos^2(x) } = 1+ \tan^2 x$
$\cot(x)$	$- \frac{1}{ \sin^2(x) } = -1 -\cot^2 x$
$\arcsin(x)$	$\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$
$\sec(x)$	$\sec(x) \cdot \tan(x)$
$\arccos(x)$	$- \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$
$\arctan(x)$	$\frac{1}{ 1+x^2 }$
$a^x$	$a^x \ln a \ \ \ (a>0)$
$x^x$	$x^x (1+ \log x)$
$e^{f(x)}$	$e^{f(x) } \cdot f'(x)$
$f(x)^{\alpha}$	$\alpha f(x)^{ \alpha -1 } f'(x)$
$f(g(x))$	$f'(g(x)) \cdot g'(x)$

$\frac{d}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Vediamo quali sono le derivate delle funzioni elementari con esempi pratici per facilitare la comprensione.

Derivate di funzioni costanti

Inizio con la funzione più semplice: una costante. La derivata di una funzione costante è sempre zero. Questo perché una costante non cambia, quindi la sua variazione rispetto a qualsiasi variabile è nulla.

$$\frac{d}{dx} c = 0$$

Esempio pratico. Considero una linea retta orizzontale rappresentata dalla funzione $f(x) = 5$. La sua derivata è zero perché, indipendentemente dal valore di $x$, la funzione non cambia. $$f'(x)= \frac{d \ 5}{dx}  = 0$$

Derivata della funzione identità

La funzione identità è quella in cui la variabile $x$ è elevata alla prima potenza. La sua derivata è sempre uguale a 1.

$$\frac{d}{dx} x = 1$$

Esempio pratico. Prendo come esempio la funzione $f(x) = 5x$. In questo caso si tratta della derivata di un prodotto tra una costante (5) e la funzione x¹. $$f'(x) = \frac{d \ 5x}{dx}$$ Per la regola della derivata del prodotto, la costante può uscire dall'operazione derivazione. $$f'(x) = 5 \cdot \frac{d \ x}{dx}$$ Per risolvere la derivata di x¹ applico la regola di derivazione delle potenze $n \cdot x^{n-1}$ $$f'(x) = 5 \cdot [ 1 \cdot x^{1-1} ] = 5 \cdot [ 1 \cdot x^0 ] = 5 \cdot [ 1 \cdot 1 ] = 5$$ Quindi, la derivata prima di f(x)=5x è f'(x)=5.

Derivata della funzione potenza

Per una funzione di potenza generale, utilizzo la regola della potenza:

$$\frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1}$$

Esempio pratico. Se considero la funzione $f(x) = x^3$, allora la sua derivata prima è $f'(x) = 3x^2$. $$f'(x) = 3 \cdot  x^{3-1} = 3 x^2$$

Derivata delle funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche hanno derivate specifiche:

• Derivata del seno $$\frac{d}{dx} \sin(x) =  \cos(x)$$
• Derivata del coseno $$\frac{d}{dx} \cos(x) =  - \sin(x)$$
• Derivata della tangente $$\frac{d}{dx} \tan(x)  = \frac{1}{ \cos^2(x) } = 1+ \tan^2 x = \sec^2(x)$$
• Derivata della cotangente $$\frac{d}{dx} \cot(x) = - \frac{ 1 }{ sin^2(x) } = - (1 + cot^2(x) )$$
• Derivata della secante $$\frac{d}{dx}  \sec \ x = \frac{ \sin(x) }{ \cos^2(x)} = \sec(x) \cdot \tan(x)$$
• Derivata della cosecante $$\frac{d}{dx} \csc(x) = - \frac{ \cos(x) }{ \sin^2(x)} = - csc(x) \cdot  \cot(x)$$
• Derivata dell'arcoseno $$\frac{d}{dx} \arcsin(x) =  \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$$
• Derivata dell'arcocoseno $$\frac{d}{dx} \arccos(x) =  - \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$$
• Derivata dell'arcotangente $$\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{ 1+x^2 }$$

Derivata delle funzioni esponenziali e logaritmiche

Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono altrettanto fondamentali:

• Derivata della funzione esponenziale $$\frac{d}{dx} e^x  =  e^x$$ $$\frac{d}{dx}a^x = a^x \cdot \log a$$
• Derivata del logaritmo  $$\frac{d}{dx}   \log_b(x)  =  \frac{1}{x} \log_b e$$

Derivata della funzione composta

Per funzioni composte, si applica la regola della catena di derivate.

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Quando si inizia ad esercitarsi con le derivate un errore frequente consiste nel dimenticarsi che molte funzioni sono composte.

Ad esempio, la funzione $e^{2x}$ è composta da una funzione esponenziale $f=e^g$  e da una funzione lineare $g =2x$.

Esempio pratico. Un esempio di funzione composta è la funzione esponenziale. Se $f(x) = e^{2x}$, allora la derivata è $f'(x) = 2e^{2x}$, poiché $g(x) = 2x$ e $g'(x) = 2$.

Questa regola è anche detta regola della catena e si  può applicare anche se ci sono tre o più funzioni come in $f(g(h(x)))$.

Il principio è sempre lo stesso, si applica "a catena" una derivata dopo l'altra, dall'esterno verso l'interno.

$$\frac{d}{dx} f[g(h(x))] = f'[g(h(x))] \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

Conoscere a memoria le derivate elementari è il primo passo per diventare esperti nel calcolo differenziale, il passo successivo è esercitarsi con la pratica per imparare ad applicarle correttamente.

E così via.