Le derivate elementari
Conoscere le derivate elementari è il primo passo per affrontare problemi più complessi.
| \( f(x) \) | \( f'(x) \) |
|---|---|
| \( c \) | \( 0 \) |
| \( x \) | \( 1 \) |
| \( x^n \) | \( n \cdot x^{n-1} \) |
| \( \frac{1}{x} = x^{-1} \) | \( - \frac{1}{x^2} \) |
| \( \sqrt[n]{x} = x^{ \frac{1}{n} } \) | \( \frac{1}{x \sqrt[n]{x^{n-1}}} \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( \ln(x) \) | \( \frac{1}{x} \) |
| \( \log_b(x) \) | \( \frac{1}{ x} \log_b e \) |
| \( \sin(x) \) | \( \cos(x) \) |
| \( \cos(x) \) | \( -\sin(x) \) |
| \( \tan(x) \) | \( \frac{1}{ \cos^2(x) } = 1+ \tan^2 x \) |
| \( \cot(x) \) | \( - \frac{1}{ \sin^2(x) } = -1 -\cot^2 x \) |
| \( \arcsin(x) \) | \( \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \) |
| \( \sec(x) \) | \( \sec(x) \cdot \tan(x) \) |
| \( \arccos(x) \) | \( - \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \) |
| \( \arctan(x) \) | \( \frac{1}{ 1+x^2 } \) |
| \( a^x \) | \( a^x \ln a \ \ \ (a>0) \) |
| \( x^x \) | \( x^x (1+ \log x) \) |
| \( e^{f(x)} \) | \( e^{f(x) } \cdot f'(x) \) |
| \( f(x)^{\alpha} \) | \( \alpha f(x)^{ \alpha -1 } f'(x) \) |
| \( f(g(x)) \) | \( f'(g(x)) \cdot g'(x) \) |
$ \frac{d}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
Vediamo quali sono le derivate delle funzioni elementari con esempi pratici per facilitare la comprensione.
Derivate di funzioni costanti
Inizio con la funzione più semplice: una costante. La derivata di una funzione costante è sempre zero. Questo perché una costante non cambia, quindi la sua variazione rispetto a qualsiasi variabile è nulla.
$$ \frac{d}{dx} c = 0 $$
Esempio pratico. Considero una linea retta orizzontale rappresentata dalla funzione \( f(x) = 5 \). La sua derivata è zero perché, indipendentemente dal valore di \( x \), la funzione non cambia. $$ f'(x)= \frac{d \ 5}{dx} = 0 $$
Derivata della funzione identità
La funzione identità è quella in cui la variabile \( x \) è elevata alla prima potenza. La sua derivata è sempre uguale a 1.
$$ \frac{d}{dx} x = 1 $$
Esempio pratico. Prendo come esempio la funzione \( f(x) = 5x \). In questo caso si tratta della derivata di un prodotto tra una costante (5) e la funzione x1. $$ f'(x) = \frac{d \ 5x}{dx} $$ Per la regola della derivata del prodotto, la costante può uscire dall'operazione derivazione. $$ f'(x) = 5 \cdot \frac{d \ x}{dx} $$ Per risolvere la derivata di x1 applico la regola di derivazione delle potenze \( n \cdot x^{n-1} \) $$ f'(x) = 5 \cdot [ 1 \cdot x^{1-1} ] = 5 \cdot [ 1 \cdot x^0 ] = 5 \cdot [ 1 \cdot 1 ] = 5 $$ Quindi, la derivata prima di f(x)=5x è f'(x)=5.
Derivata della funzione potenza
Per una funzione di potenza generale, utilizzo la regola della potenza:
$$ \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1} $$
Esempio pratico. Se considero la funzione \( f(x) = x^3 \), allora la sua derivata prima è \( f'(x) = 3x^2 \). $$ f'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3 x^2 $$
Derivata delle funzioni trigonometriche
Le funzioni trigonometriche hanno derivate specifiche:
- Derivata del seno $$ \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) $$
- Derivata del coseno $$ \frac{d}{dx} \cos(x) = - \sin(x) $$
- Derivata della tangente $$ \frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{1}{ \cos^2(x) } = 1+ \tan^2 x = \sec^2(x) $$
- Derivata della cotangente $$ \frac{d}{dx} \cot(x) = - \frac{ 1 }{ sin^2(x) } = - (1 + cot^2(x) ) $$
- Derivata della secante $$ \frac{d}{dx} \sec \ x = \frac{ \sin(x) }{ \cos^2(x)} = \sec(x) \cdot \tan(x) $$
- Derivata della cosecante $$ \frac{d}{dx} \csc(x) = - \frac{ \cos(x) }{ \sin^2(x)} = - csc(x) \cdot \cot(x) $$
- Derivata dell'arcoseno $$ \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } $$
- Derivata dell'arcocoseno $$ \frac{d}{dx} \arccos(x) = - \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } $$
- Derivata dell'arcotangente $$ \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{ 1+x^2 } $$
Derivata delle funzioni esponenziali e logaritmiche
Le funzioni esponenziali e logaritmiche sono altrettanto fondamentali:
- Derivata della funzione esponenziale $$ \frac{d}{dx} \tan(x) e^x = e^x $$
- Derivata del logaritmo $$ \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x} \log_b e $$
Derivata della funzione composta
Per funzioni composte, si applica la regola della catena di derivate.
$$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Quando si inizia ad esercitarsi con le derivate un errore frequente consiste nel dimenticarsi che molte funzioni sono composte.
Ad esempio, la funzione $ e^{2x} $ è composta da una funzione esponenziale $ f=e^g $ e da una funzione lineare $ g =2x $.
Esempio pratico. Un esempio di funzione composta è la funzione esponenziale. Se \( f(x) = e^{2x} \), allora la derivata è \( f'(x) = 2e^{2x} \), poiché \( g(x) = 2x \) e \( g'(x) = 2 \).
Questa regola è anche detta regola della catena e si può applicare anche se ci sono tre o più funzioni come in \( f(g(h(x))) \).
Il principio è sempre lo stesso, si applica "a catena" una derivata dopo l'altra, dall'esterno verso l'interno.
\[ \frac{d}{dx} f[g(h(x))] = f'[g(h(x))] \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
Conoscere a memoria le derivate elementari è il primo passo per diventare esperti nel calcolo differenziale, il passo successivo è esercitarsi con la pratica per imparare ad applicarle correttamente.
E così via.
