I punti di non derivabilità
Una funzione non è derivabile in un punto se la derivata non esiste oppure tende a infinito.
Una funzione è derivabile in un punto solo se la derivata esiste ed è finita.
Quando il limite del rapporto incrementale non esiste oppure tende a infinito, la funzione non è derivabile nel punto considerato.
Dal punto di vista geometrico, i punti di non derivabilità possono corrispondere a particolari “irregolarità” del grafico come i flessi a tangente verticale, le cuspidi e i punti angolosi.
Il significato geometrico. La derivata misura il coefficiente angolare della retta tangente al grafico. Quando il coefficiente angolare tende a un valore finito la funzione è derivabile. Viceversa, se tende a \(+\infty \) o \(-\infty \) la tangente diventa verticale, parallela all'asse y, e il coefficiente angolare non si può calcolare. In questo punto la funzione non è derivabile. Un altro punto in cui la derivata non esiste è quando la funzione assume valori diversi da destra e da sinistra.
I flessi a tangente verticale
Un flesso a tangente verticale è un punto in cui la funzione è continua e la tangente è verticale. In questo caso la derivata destra e sinistra coincidono ma le derivate tendono entrambe a \( +\infty \) \[ f'_-(c)=f_+(c)=+\infty \] oppure entrambe a \( -\infty \) \[ f'_-(c)=f'_+(c)=-\infty \]
In entrambi i casi la tangente è verticale e parallela all’asse \( y \) ossia ha l'equazione:
\[ x=c \]
In questo intorno la funzione cambia concavità, per questo motivo si parla di flesso.
La tangente esiste geometricamente, ma la derivata non esiste come numero reale finito.
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ y=\sqrt[3]{x} \]
Posso scriverla anche in forma di potenza:
\[ y=x^{\frac{1}{3}} \]
Per calcolare la derivata applico la regola di derivazione delle potenze \( \frac{d}{dx}(x^n)=n x^{n-1} \)
In questo caso l’esponente è \( n=\frac{1}{3} \), quindi la derivata è:
\[ y'=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} =\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \]
La derivata può anche essere scritta in forma equivalente:
\[ y'=\frac{1}{3x^{2/3}} \]
Nel punto \( x=0 \) la funzione è continua ma la derivata tende a infinito, sia da destra che da sinistra.
\[ x \to 0^+ \rightarrow y' = + \infty \]
\[ x \to 0^- \rightarrow y' = + \infty \]
Questo vuol dire che \( x=0 \) è un flesso a tangente verticale della funzione.
Poiché la derivata ha segno positivo, la funzione in \( x=0 \) ha un andamento crescente.
Le cuspidi
Una cuspide è un punto in cui la funzione è continua e la tangente è verticale, la derivata destra e sinistra sono infinite ma diverse. \[ f'_-(c)\neq f'_+(c) \]
Quindi, una cuspide si verifica quando la derivata sinistra tende a \( f'_-(c)= -\infty \) mentre quella destra tende a \( f'_+(c)= +\infty \) o viceversa.
In questo punto il grafico forma una punta.
La tangente verticale esiste, ma la funzione "cambia direzione" in modo brusco. Per questo motivo le derivate laterali non coincidono.
Nota. In generale entrambe le derivate sono infinite ma di segno opposto. Tuttavia, può anche accadere che solo una derivata laterale sia infinita mentre l'altra è finita. Ad esempio \( f'_-(c)= +\infty \) e \(f'_+(c)=0 \). Anche in questo caso il punto non è derivabile e la tangente non è unica.
Un esempio pratico
Considero la funzione
\[ y=\sqrt[3]{x^2} \]
Per studiarla è utile riscriverla in forma di potenza usando la proprietà delle radici \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} \)
\[y=x^{\frac{2}{3}} \]
Questa forma è più comoda per calcolare la derivata.
Applico la regola di derivazione delle potenze \( \frac{d}{dx}(x^n)=n x^{n-1} \)
\[y'= \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{ - \frac{1}{3} } \]
Quindi, la derivata della funzione è
\[ f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \]
Per \( x \to 0^+ \) la derivata destra tende a infinito:
\[ f'_+(x)\to +\infty \]
Per \( x \to 0^- \), invece, la derivata sinistra tende a meno infinito.
\[ f'_-(x)\to -\infty \]
Quindi, le derivate laterali sono entrambe infinite in valore assoluto ma di segno diverso.
Questo significa che la funzione è continua in \( x=0 \) ma il punto in questione è una cuspide.
I punti angolosi
Un punto angoloso è un punto in cui la funzione è continua, le derivate laterali esistono, sono finite ma diverse. \[ f'^-(c)\neq f'^+(c) \]
In questo caso la tangente cambia improvvisamente inclinazione e il grafico presenta uno "spigolo".
Quindi, in questo punto la tangente non è unica e la funzione non derivabile.
Nota. In generale entrambe le derivate sono finite ma diverse. Tuttavia, può anche accadere che solo una derivata laterale sia finita mentre l'altra è infinita. Ad esempio \( f'_-(c)=0 \) e \(f'_+(c)=+\infty \). Anche in questo caso il punto non è derivabile e la tangente non è unica.
Un esempio pratico
Considero la funzione valore assoluto:
\[ y=|x| \]
Per calcolare la derivata è conveniente riscrivere il valore assoluto come funzione definita a tratti. Quindi la funzione diventa:
\[ y= \begin{cases} x & \text{se } x \ge 0 \\ -x & \text{se } x <0 \end{cases} \]
Ora derivo separatamente i due rami della funzione.
Per \( x>0 \) la funzione è \( y=x \), quindi, la derivata è:
\[ y'=1 \]
Per \( x<0 \) la funzione è \( y=-x \), quindi la derivata è:
\[ y'=-1 \]
Ora verifico se la funzione è derivabile nell’origine.
La derivata sinistra in \( x=0 \) è
\[ f'_-(0)=-1 \]
La derivata destra è
\[ f'_+(0)=1 \]
Quindi, la derivata sinistra e la derivata destra esistono, sono valori finiti ma diversi.
\[ f'_-(0)\neq f'+(0) \]
Questo significa che la funzione non è derivabile nell’origine e il punto \( (0,0) \) è un punto angoloso.
Anche in questo caso la funzione è continua nel punto ma non è derivabile.
Osservazioni
Alcune osservazioni e note sui punti in cui la funzione non è derivabile
- La non derivabilità non implica necessariamente discontinuità.
Molte funzioni sono continue ma non derivabili in alcuni punti. Ad esempio, in uno spigolo la funzione è continua ma non è derivabile. Dal punto di vista geometrico, la derivabilità richiede che il grafico abbia un andamento "regolare", senza spigoli, punte o tangenti verticali.
E così via.
