La derivata della tangente

La derivata di una funzione tangente è $$ D[tan \: x] = \frac{1}{ cos^2 \:x } = 1 + tan^2 \: x = \sec^2(x) $$

Dimostrazione

Per spiegare la derivata di una tangente, mi basta ricordare le regole di derivazione del seno e del coseno e qualche formula trigonometrica.

$$ D[sin \: x] = cos \: x $$

$$ D[cos \: x] = -sin \: x $$

In trigonometria la funzione tangente è uguale al rapporto tra il seno e il coseno.

$$ tan \:x = \frac{sin \:x}{ cos \:x} $$

Pertanto, per conoscere la derivata della tangente devo soltanto calcolare la derivata del rapporto tra il seno e il coseno.

$$ D[ \frac{sin \:x}{ cos \:x} ] $$

Applicando la regola di derivazione del rapporto di due funzioni diventa

$$ \frac{D[sin \:x] \cdot cos \: x - sin \:x \cdot D[cos \:x]}{ [cos \:x]^2 } $$

$$ \frac{cos \:x \cdot cos \: x - sin \:x \cdot (-sin \:x)}{ [cos \:x]^2 } $$

$$ \frac{cos^2 \:x + sin^2 \:x }{ cos^2 \:x } $$

Secondo una nota regola della trigonometria la somma dei quadrati del seno e del coseno è uguale a uno. $$ sin^2 \:x + cos^2 \: x = 1 $$

Quindi posso riscrivere

$$ \frac{cos^2 \:x + sin^2 \:x }{ cos^2 \:x } = \frac{1}{ cos^2 \:x } $$

Secondo una regola di equivalenza tra coseno e tangente $$ cos \: x = \frac{1}{\sqrt(1+tan^2 \:x)} $$

A questo punto sostituisco i termini e ottengo

$$ \frac{1}{cos^2 \:x} = \frac{1}{ \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt(1+tan^2 \:x)} \end{pmatrix}^2 } = \frac{1}{ \frac{1}{(1+tan^2 \:x)} } = (1+tan^2 \:x)$$

Inoltre sapendo che il quadrato della secante è uguale $ \sec^2 = 1+\tan^2 (x) $ posso anche dire che la derivata della tangente è il quadrato della secante.

$$ 1+ \tan^2 (x) = \sec^2 (x) $$

Ho così dimostrato la formula della derivata della tangente.