Teorema di Lagrange

Cosa dice il teorema di Lagrange

Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo [a,b] e derivabile in (a,b), esiste un punto x di (a,b) in cui la derivata f'(x0) è uguale al coefficiente angolare della retta r che congiunge gli estremi a e b. $$ f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Il teorema di Lagrange è anche detto teorema del valore medio del calcolo differenziale.

significato geometrico del teorema di Lagrange

Un esempio pratico

Ho una funzione f(x)=x2 continua nell'intervallo [0,2] e derivabile in (0,2).

$$ f(x)=x^2 $$

Il punto in cui si verifica il Teorema di Lagrange è

$$ f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Sapendo che la derivata di f(x)=x2 è f'(x)=2x

$$ 2x_0 = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Sapendo che gli estremi dell'intervallo sono a=0 e b=2

$$ 2x_0 = \frac{f(2)-f(0)}{2-0} $$

$$ 2x_0 = \frac{4-0}{2-0} $$

$$ 2x_0 = 2 $$

Pertanto, il punto x0 è uguale a 1

$$ x_0 = \frac{2}{2} = 1 $$

Nel punto x0=1 la derivata f'(x0) è uguale al coefficiente angolare della retta che congiunge gli estremi [a,b].

un esercizio pratico in cui si applica il teorema di Lagrange

Dimostrazione e spiegazione

Data una funzione f(x) continua nell'intervallo [a,b] e derivabile nell'intervallo (a,b).

la funzione f(x) continua e derivabile in (a,b)

La retta che congiunge i due punti estremi a e b è la seguente:

$$ r: f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) $$

Ecco la rappresentazione grafica sul diagramma cartesiano

la retta che congiunge gli estremi

Definisco un'altra funzione g(x) per esprimere la differenza tra f(x) e la retta r.

$$ g(x) = f(x) - r $$

$$ g(x) = f(x) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] $$

La differenza f(x)-r è nulla nei punti estremi a e b.

Quindi anche la funzione g(x) è nulla nei punti a e b.

la funzione g(x) è uguale agli estremi

Verifica. Se x=a la funzione g(x) è nulla. $$ g(x) = f(x) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] $$ $$ g(a) = f(a) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (a-a) ] $$ $$ g(a) = f(a) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot 0 ] $$ $$ g(a) = f(a) - [ f(a) ] $$ $$ g(a) = f(a) - f(a) $$ $$ g(a) = 0 $$
Se x=b la funzione g(x) è nulla. $$ g(x) = f(x) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] $$ $$ g(b) = f(b) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (b-a) ] $$ $$ g(b) = f(b) - [ f(a)+ f(b)-f(a) ] $$ $$ g(b) = f(b) - f(b) $$ $$ g(b) = 0 $$

Poiché la funzione g(x) è uguale agli estremi

$$ g(a)=g(b)=0 $$

secondo il teorema di Rolle esiste un punto intermedio x∈(a,b) con derivata nulla g'(x0)=0.

$$ g'(x_0)=0 $$

A questo punto calcolo la derivata prima della funzione g(x) nell'intervallo (a,b)

$$ D[g(x)] = D[f(x) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] ] $$

$$ g'(x) = D[f(x)] - D[ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] $$

$$ g'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Sapendo che nel punto x0 la derivata g'(x)=0 è nulla

$$ 0 = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

con un semplice passaggio algebrico ottengo l'uguaglianza tra la derivata prima e il coefficiente angolare della retta che congiunge gli estremi a e b.

$$ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

Dal punto di vista grafico la retta tangente nel punto x0, ossia la derivata prima di f(x) in x0, ha lo stesso coefficiente angolare della retta r.

significato geometrico del teorema di Lagrange

Ho così dimostrato il teorema di Lagrange.

E così via.

 


 

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