Teorema di Lagrange
Cosa dice il teorema di Lagrange
Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo [a,b] e derivabile in (a,b), esiste un punto x di (a,b) in cui la derivata f'(x0) è uguale al coefficiente angolare della retta r che congiunge gli estremi a e b. $$ f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
Il teorema di Lagrange è anche detto teorema del valore medio del calcolo differenziale.
Un esempio pratico
Ho una funzione f(x)=x2 continua nell'intervallo [0,2] e derivabile in (0,2).
$$ f(x)=x^2 $$
Il punto in cui si verifica il Teorema di Lagrange è
$$ f'(x_0) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
Sapendo che la derivata di f(x)=x2 è f'(x)=2x
$$ 2x_0 = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
Sapendo che gli estremi dell'intervallo sono a=0 e b=2
$$ 2x_0 = \frac{f(2)-f(0)}{2-0} $$
$$ 2x_0 = \frac{4-0}{2-0} $$
$$ 2x_0 = 2 $$
Pertanto, il punto x0 è uguale a 1
$$ x_0 = \frac{2}{2} = 1 $$
Nel punto x0=1 la derivata f'(x0) è uguale al coefficiente angolare della retta che congiunge gli estremi [a,b].
Dimostrazione e spiegazione
Data una funzione f(x) continua nell'intervallo [a,b] e derivabile nell'intervallo (a,b).
La retta che congiunge i due punti estremi a e b è la seguente:
$$ r: f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) $$
Ecco la rappresentazione grafica sul diagramma cartesiano
Definisco un'altra funzione g(x) per esprimere la differenza tra f(x) e la retta r.
$$ g(x) = f(x) - r $$
$$ g(x) = f(x) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] $$
La differenza f(x)-r è nulla nei punti estremi a e b.
Quindi anche la funzione g(x) è nulla nei punti a e b.
Verifica. Se x=a la funzione g(x) è nulla. $$ g(x) = f(x) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] $$ $$ g(a) = f(a) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (a-a) ] $$ $$ g(a) = f(a) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot 0 ] $$ $$ g(a) = f(a) - [ f(a) ] $$ $$ g(a) = f(a) - f(a) $$ $$ g(a) = 0 $$
Se x=b la funzione g(x) è nulla. $$ g(x) = f(x) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] $$ $$ g(b) = f(b) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (b-a) ] $$ $$ g(b) = f(b) - [ f(a)+ f(b)-f(a) ] $$ $$ g(b) = f(b) - f(b) $$ $$ g(b) = 0 $$
Poiché la funzione g(x) è uguale agli estremi
$$ g(a)=g(b)=0 $$
secondo il teorema di Rolle esiste un punto intermedio x∈(a,b) con derivata nulla g'(x0)=0.
$$ g'(x_0)=0 $$
A questo punto calcolo la derivata prima della funzione g(x) nell'intervallo (a,b)
$$ D[g(x)] = D[f(x) - [ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] ] $$
$$ g'(x) = D[f(x)] - D[ f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a) ] $$
$$ g'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
Sapendo che nel punto x0 la derivata g'(x)=0 è nulla
$$ 0 = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
con un semplice passaggio algebrico ottengo l'uguaglianza tra la derivata prima e il coefficiente angolare della retta che congiunge gli estremi a e b.
$$ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
Dal punto di vista grafico la retta tangente nel punto x0, ossia la derivata prima di f(x) in x0, ha lo stesso coefficiente angolare della retta r.
Ho così dimostrato il teorema di Lagrange.
E così via.